浙江省高数竞赛积分习题.doc

《浙江省高数竞赛积分习题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、例1（1）（2）（3）（4）（5）例2、（1）（06年真题）解：（法一）（法二）而15从而（2）（3）（07年的真题）求解：（4）（资料中的发挥题）求例3、15（03年真题）例4（1）（类似地，求等）（2）（4）*例5若则之值（C）（A）依赖于（B）依赖于（C）只依赖于（D）依赖于解：令，则，例5（1）（资料中的发挥题）计算解：换元，则再令，有15从而＝（2）（07经管类真题）解：移项解得*（2）（05年数学类真题）计算解：令则移项解得，从而（3）（首届高数竞赛真题）:证明：证明：而从而原式=例6（1）计算15

2、解：而从而（2）（04年真题）计算解：（3）（资料中的发挥题）计算解：例7（1）*（2）（资料中的发挥题）设求15（3）解：从而（4）（首届高数竞赛真题）计算解：　　　　＋（5）设求解：从而15例8（1）（C）.（A）（B）（）（D）（2）（06年文专科真题）计算解：（3）例9（1）（05年真题）计算解：从而（2）（3）15（4）（08年真题）解：　　例10（1）（2）（3）（05年真题）设，,,试比较的大小。解：，从而先证令，，从而在内严格单调减，15即，，因此从而（4）设则（A）（A）为正常数（B）为负常数

3、（C）恒为零（D）不为常数解：例11（1）（03年真题）设，求解（法一）（法二）（2）求其中解：例12（1）已知：在的邻域内为可导函数，且，，求极限解：15（2）设在上连续，且求解：对两边求导得令得（3）设有连续导数，且当时，的导数与为等价无穷小，求的值。解：由题意：又从而从而（4）设连续，已知求解：令，则对上式两边求导得从而15例13（1）已知可微，求解：在中，令，对两边求导得，令，得，套用线性微分方程的通解公式代入初始条件，，（舍，不满足）（2）（首届竞赛真题）设连续，且当时，求解：令则,且从而由，得，从而

4、例14（1）若求解：对两边在积分15设，得从而（2）设在上连续，且满足求解：两边在上积分令，即得从而例15（1）下列不等式中正确的是（A）（A）（B）0（C）（D）以上都不对解：在上最大值为，最小值（2）设是一个连续函数，证明：存在，使证明；在上连续，则存在最大值，，由估值不等式由介值定理，，使得（3）设在上连续，且则方程在上（A）（A）只有一个根（B）有二个根（C）.有三个根（D）无根解：令，由于在上连续，则在上连续，可导15且，（）由零点定理，在内至少有一根又，，因此只有一根。（4）设函数在闭区间上连续可导

5、，且满足求证：在内至少有一点，使（积分第一中值定理与罗尔定理）证明：令，由于在闭区间上连续可导，则在闭区间上连续可导又，由条件可得由Rolle定理，至少存在一点，使（5）设在上可导，且在上求证：（积分第一中值定理与Lagrange中值定理）证明：在上可导，则，有15（6）（06年真题）求最小的实数，使得满足的连续函数都有解：另一方面令，则而从而最小实数例16（1）（04年真题）证明：，应用Cauchy—Schawazi不等式得＝例17（05年真题）（1）在某平地上向下挖一个半径为的半球形池塘，若某点泥土的密度为

6、，其中为此点离球心的距离，试求挖此池塘需作的功。解：建立坐标系（如图）应用微元法。在点处的泥土质量为该点与水平面的距离为，所做功的微元为挖池塘所需作功为15（2）（06年文专科真题）求由围成的平面图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积。解：交点为（配图）面积体积（两次分部积分）（07年真题）求的值，使又，从而至多与轴相交一次。从而有关于原点对称，即错误：仅仅有为奇函数这个条件，且不能推出反例：15