3 - 1 复变函数积分

《3 - 1 复变函数积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、设函数f：DC，C为区域D中的有向简单光滑曲线，类似于实函数情形，定义f在沿着C的积分fzdz()C积分的计算，将f(z)=u+iv，z=x+iy代入即得fzdz()(uivdxiy)()CC(udxvdy)ivdxudy()CC设曲线C的参数方程为xxt()，yyt()，t代入得fzdz()(uxvydtivx)(uydt)C性质：-改变曲线C的正负方向，记为C，则fzdz()fzdz()CCafzdz()afzdz()a为常数CC[()fzgzdz()]fzdz()gzdz()CCC

2、性质：设C=C+C+…+C，即C、C…C12n12n连接成的曲线，则fzdz()fzdz()+fzdz()++…fzdz()CC12CCn设曲线C的长度为L，

3、f(z)

4、M，zC

5、fzdz()

6、LMC例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（1）由原点到3+4i的直线段；（2）由原点经3到3+4i的折线；（3）由原点经4i到3+4i的折线。例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（1）由原点到3+4i的直线段；解：该直线段的参数方程为xt3，y4t，0t1代入积分，得例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（1）由原点到3+4i的直线段；zdz

7、(xiydxiy)()CC1(3t4)(3itdt4)it01(7t24)itdt0712i2例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（2）由原点经3到3+4i的折线；解：C分为两段C和C，C的参数方程为121xt3，yt0，01代入积分，得例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（2）由原点经3到3+4i的折线；zdz(xiydxiy)()CC1113(3)tdt019tdt092例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（2）由原点经3到3+4i的折线；解：C的参数方程为2x3，y4t，0t1代入积分，得例1：计

8、算积分zdz，其中积分路径C为C（2）由原点经3到3+4i的折线；zdz(xiydxiy)()CC221(34)(34)itdit01(16t12)idt0812i7zdzzdzzdz12iCC12C2例1：计算积分zdz，其中积分路径C为C（3）由原点经4i到3+4i的折线。解：C分为两段C和C，参数方程分别为12x03，xt，y4t，0t1y4，0t1代入积分，得7zdzzdzzdz12iCC12C2dz例2：计算积分，C()zzn10其中C是z为圆心r为半径的正向圆周。0dz例2：计算积

9、分，C()zzn10其中C是z为圆心r为半径的正向圆周。0i解：C的参数方程zzre020idz2dz()re0C(zz)n110(zreiz)n00022idiined00reninrndz例2：计算积分，C()zzn10其中C是z为圆心r为半径的正向圆周。0n=0时，dzi22inedid2iCzzrn000dz例2：计算积分，C()zzn10其中C是z为圆心r为半径的正向圆周。0n=0时，dzi22inedid2iCzzrn000n0时，dzi1in

10、2e0C()zznn1rin00dz例2：计算积分，C()zzn10其中C是z为圆心r为半径的正向圆周。0dz2πin，0C()zzn100，n0这里积分结果和半径无关角度可选为[，+2]，结果一样即和起点的选择无关例3：计算积分zdz，其中积分路径C为C（1）由原点到1+i的直线段；（2）由原点经1到1+i的折线；（3）由原点经i到1+i的折线。例3：计算积分zdz，其中积分路径C为C（1）由原点到1+i的直线段；解：该直线段的参数方程为xt，yt，01t得1zdz(titdtit)()C0121tdt0例

11、3：计算积分zdz，其中积分路径C为C（2）由原点经1到1+i的折线；解：C分为两段C和C，参数方程分别为12xt，x1，y0，0t1yt，0t1代入积分，得111Czdz0tdt0(1itdit)()0(2tidt)1i例3：计算积分zdz，其中积分路径C为C（3）由原点经i到1+i的折线；解：C分为两段C和C，参数方程分别为12x0