3-1复变函数积分的概念

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1、第三章复变函数的积分第二节柯西-古萨基本定理(Cauchy-Goursat)第三节基本定理(C-G)的推广—复合闭路定理第一节复变函数积分的概念第四节原函数与不定积分第五节柯西积分公式第六节解析函数的高阶导数公式第七节解析函数与调和函数的关系1第一节复变函数积分的概念一、积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质四、小结与思考2一、积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如果A到B作为曲线C

2、的正向,那么B到A就是曲线C的负向,3简单闭曲线正向的定义:简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.42.积分的定义:5(6关于定义的说明:7二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件证正方向为参数增加的方向,89根据线积分的存在定理,10当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,11在形式上可以看成是公式122.积分的计算

3、法13在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.14解：02P9例3150216结果：事实上：17例2解(1)积分路径的参数方程为y=x18(2)积分路径的参数方程为y=x19y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为20例3解积分路径的参数方程为21例4解积分路径的参数方程为22重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.23此结果以后要经常用到。24三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式25性质(4)的证明两端取极限得[证毕]26例5解根

4、据估值不等式知2728四、小结与思考本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.29思考题30思考题答案即为一元实函数的定积分.3132