3复变函数的积分46879

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1、CH3复变函数的积分1、复变函数积分的概念2、柯西-古萨基本定理3、基本定理的推广4、原函数与不定积分5、柯西积分公式6、解析函数的高阶导数7、解析函数与调和函数的关系§3.1复变函数积分的概念3.积分存在的条件及其计算法4.积分性质2.积分的定义1.有向曲线1.有向曲线CA(起点)B(终点)CC2.积分的定义定义DBxyo3.积分性质由积分定义得：4.积分存在的条件及其计算法定理证明由曲线积分的计算法得例1解又解Aoxy例2解oxyrCîíì¹==-=-òò=-++0002)()(01010n

2、nizzdzzzdzrzznCnpoxy例3解解:例4分析§1的积分例子:§3.2Cauchy-Goursat基本定理由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关.先将条件加强些，作初步的探讨—Cauchy定理Cauchy-Goursat基本定理：BC—也称Cauchy定理(3)定理中曲线C不必是简单的！如下图.BBC推论设f(z)在单连通区域B内解析，则对任意两点z0,z1∈B,积分∫cf(z)dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线，即积

3、分与路径无关.Cz1z0C1C2C1C2z0z1练习：例1复合闭路定理：§3.3基本定理推广—复合闭路定理证明DCc1c2BL1L2L3AA’EE’FF’GH说明此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值，只要在变形过程中曲线不经过的f(z)的不解析点.—闭路变形原理DCC1C1C1例1解C1C21xyo练习解C1C21xyo§3.4原函数与不定积分1.原函数与不定积分的概念2.积分计算公式1.原函数与不定积分的概念由§2基本定理的推论知：设f(z)在单连通区

4、域B内解析，则对B中任意曲线C,积分∫cfdz与路径无关，只与起点和终点有关.当起点固定在z0,终点z在B内变动,∫cf(z)dz在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作定理设f(z)在单连通区域B内解析，则F(z)在B内解析，且定义若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，即,称(z)为f(z)在B内的原函数.上面定理表明是f(z)的一个原函数.设H(z)与G(z)是f(z)的任何两个原函数，这表明：f(z)的任何两个原函数相差一个常数.定义设F(z)是f(z)的一个原函数，称F(z)+c(

5、c为任意常数)为f(z)的不定积分，记作2.积分计算公式定理设f(z)在单连通区域B内解析，F(z)是f(z)的一个原函数，则此公式类似于微积分学中的牛顿－莱布尼兹公式.但是要求函数是解析的,比以前的连续条件要强例1计算下列积分：解1)解2)例3计算下列积分：小结求积分的方法利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭

6、路积分的方法.内容简介§3.5Cauchy积分公式分析DCz0C1DCz0C1∴猜想积分定理(Cauchy积分公式)证明一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.例1解例2解CC1C21xyo例3解内容简介本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式.研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点与实变函数有本质区别.§6解析函数的高阶导数形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明.定理证明用数学归纳法和导数定义.令为I依次类

7、推，用数学归纳法可得一个解析函数的导数仍为解析函数.例1解例2§7解析函数与调和函数的关系定义定理证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如定理公式不用强记！可如下推出：类似地，然后两端积分得，调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用.本节介绍了调和函数与解析函数的关系.例1解曲线积分法故又解凑全微分法又解偏积分法又解不定积分法本章作业2.；5.（1）；7

8、.（3），（5），（8），（9）；8.（3），（4）；9.（1），（3）；14.；28.；30.（3）；31.