2003年天津市大学数学竞赛试题

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1、班级姓名学号2003年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空题：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面）⎛1⎞1．设对一切实数x和y，恒有fx(+y)=fx()+fy()，且知f(2)1=，则f⎜⎟=.⎝2⎠sin2x⎧⎪∫ln(1+tt)d0,x≠0;2．设fx()=⎨2x2x2在x=0处连续，则a=.e−2e+1⎪⎩a,x=0z23．设fxyz(,,)=eyz，其中z=zxy(,)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f′(0,1,−1)=.y+∞dx4．=.∫0(1+x22)222⎧xyz⎪++=15．曲线⎨444在

2、点M(1,1,1)处的切线方程为.⎪⎩x−2y+=z0二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）31.当x→0时，下列无穷小量①1tan+x−1sin+x；②12+x−13+x；③⎛41⎞x4−xx−⎜−cosx⎟sinx；④e−1，从低阶到高阶的排列顺序为【】.⎝33⎠(A)①②③④；(B)③①②④；(C)④③②①；(D)④②①③.3⎧xarctan,xx≠02.设fx()=⎨，在x=0处存在最高阶导数的阶数为【】.⎩0,x

3、=0(A)1阶；(B)2阶；(C)3阶；(D)4阶.fx′()3.设函数y=fx()在x=1处有连续的导函数，又lim=2，则x=1是【】.x→1x−1(A)曲线y=fx()拐点的横坐标；(B)函数y=fx()的极小值点；(C)函数y=fx()的极大值点；(D)以上答案均不正确.4.设函数fg,在区间[,]ab上连续，且gx()

4、gx()]dx；(B)π∫[2m−fx()+gx()][()fx−gx()]dx；aabb(C)π∫[m−fx()+gx()][()fx−gx()]dx；(D)π∫[m−fx()−gx()][()fx−gx()]dxaa22225.设Sx:+y+z=az(≥0)，S为S在第一卦限中的部分，则有【】.1(A)∫∫xsd=4∫∫xsd；(B)∫∫ysd=4∫∫xsd；(C)∫∫zsd=4∫∫xsd；(D)∫∫xyzsd=4∫∫xyzsd.SS1SS1SS1SS121xtdt三、abc,,为何值时，下式成立limx→0∫b2=c.（本题6分）sinxax−

5、1+t⎧ϕ()cosx−x⎪,x≠0;四、设函数fx()=⎨x，其中ϕ()x具有连续二阶导函数，且ϕ(0)=1.⎪⎩⎪⎩⎪⎩a,x=0⑴确定a的值，使fx()在点x=0处可导，并求fx′().⑵讨论fx′()在点x=0处的连续性。（本题8分）x⎡⎛2⎞⎛2⎞⎤五、设正值函数fx()在[1,+∞)上连续，求函数Fx()=∫1⎢⎜+lnx⎟⎜−+lnt⎟⎥ft()dt的最小值⎣⎝x⎠⎝t⎠⎦点.（本题6分）12六、设yx′()=arctan(x−1)，且y(0)=0，求∫yxx()d.（本题6分）0⎧⎪⎧⎪⎧⎪u=xay+∂2z∂2z1∂z∂2z七、设变

6、换⎨，把方程2−y2−⋅=0化为=0，试确定a.（本题7分）⎪⎩⎪⎩⎪⎩v=x+2y∂x∂y2∂y∂∂uv八、设函数Qxy(,)在xOy平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分∫L2xyxQxyyd+(,)d与路径无关，(,1)t(1,)t并且对任意的t恒有∫(0,0)2xyxQxyyd+(,)d=∫(0,0)2xyxQxyyd+(,)d，求Qxy(,).（本题7分）九、设函数fx()具有二阶连续导函数，且f(0)=0,f′(0)=0,f′′(0)>0.在曲线y=fx()上任意取xf()µ一点(,())(xfxx≠0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作

7、µ，求lim.（本题8分）x→0µfx()十、设函数fx()在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,(1)f=1.试证明：对湖南大学数学与计量经济学院肖萍编班级姓名学号ab于任意给定的正数a和b,在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得+=ab+.（本题f′()ξf′()η7分）1−11−t2十一、设Fx()=−(1e)++∫(x−t)edt，试证明在区间[1,1]−上Fx()有且仅有两个实根。2−1（本题7分）十二、设函数fxy(,)在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：−1xfx′+yfy′222f

8、(0,0)=limddxy,其中：D为圆域ε≤x+y≤1.（本题8分）+∫∫22ε→02πx+yD湖南大学数