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1、云南大学学报(自然科学版),2008,30(S2):456～460CN53-1045/NISSN0258-7971JournalofYunnanUniversityΞ大学数学中的无穷观杨宗文,李友宝(云南大学数学系,云南昆明650091)摘要:讨论数学中的无穷概念的学习与理解,使大学数学教育更有利于大学生建立科学的数学无穷观,提高大学生的数学素质.关键词:无穷大量;无穷小量;潜无穷;实无穷;ZFC公理集合论系统中图分类号:G642.0;O143文献标识码:A文章编号:0258-7971(2008)S2-0456-05无穷是数学中一个基
2、本概念,不仅是几乎所有大学生都学习的高等数学中的一个重要概念,更是数学类大学生课程中一个不可缺少的概念:几乎所有的数学专业课程都离不开无穷概念.无穷是一个数学[1～2]中广泛使用的概念:高等数学、数学分析极限论中有无穷大量、无穷小量之无穷,实变函数集合论中[3～4]有无穷集合之无穷,复变函数中有无穷远点之无穷,广义函数、非标准分析中也有含义不同之无[5～8]穷,等等.同时无穷概念又是一个包含矛盾、倍受争议的概念:数学史上“潜无穷”与“实无穷”2种无穷观长期争论,这一争论延续至今仍未完全停止,虽然这已不是现代数学的主流,但也使无穷这一基
3、本的数[9～16]学概念蒙上了一层阴影,时时会影响我们的数学学习.那么,无穷到底为何物呢?面对争论,我们该何去何从呢?本文对大学数学相关的无穷概念进行一些分析讨论,以求有利于大学生的数学学习,并有助于大学生形成基于现代数学的科学的数学无穷观.1潜无穷与实无穷从哲学上讲,从公元前400多年前开始对无穷的观念就产生了分歧,潜无穷与实无穷的无穷观一直争论至今.潜无穷的无穷观认为无穷是一个永无终止的过程;实无穷的无穷观认为无穷是实际存在的,无穷是一个可以完成的过程或一个已经生成的对象.认为无穷能否完成或形成整体,是无穷观的关键所在.如果坚持潜
4、无穷论,将导致一些与实际相矛盾的现象(如芝诺关于时间、空间无穷可分的悖论的一个原因,就在于认为相应无穷分划是一个“潜无穷”过程,永远不能完成;如果使用实无穷论,认为相应无穷分划虽然是一个无穷过程,但这是一个已经完成的过程,就不出现悖论了),并且数学上将导致现代数学失去大部分内容.当然坚持实无穷论,也会出现一些与日常知识不一致的方面(如整体大于部分将不再绝对成立).这是不同的哲学观点对无穷世界的不同认识.那么,在数学中我们怎样认识无穷这个概念呢?基于哲学上潜无穷观与实无穷观的影响,数学上对无穷的看法也有2种不同的观点:潜无穷观与实无穷观
5、.经典数学的基础是ZFC公理集合论系统,ZFC公理集合论系统中有无穷集合存在公理,从而承认无穷集合的存在,故经典数学接受实无穷观.坚持潜无穷观的数学家不能认可无穷集合的存在,他们研究的也是数学,只不过他们研究的不是经典数学,而是与经典数学不同的另一个数学体系:直觉主义数学.集合论的公理系统中由数学家策梅罗提出,后经弗兰克尔、斯科兰姆和冯·诺伊曼等人改进的一组公Ξ收稿日期:2008-11-10基金项目:云南省教育厅基金资助项目(07Z10533);云南大学理(工)科校级科研项目资助(2008YB027).作者简介:杨宗文(1965-),
6、男,云南人,硕士,副教授,主要从事代数、数论、数学基础方面的研究.©第S2期杨宗文等:大学数学中的无穷观457理,称为ZF系统.ZF系统的非逻辑公理是(公理①～⑨):①外延公理;②空集合存在公理;③无序对集合存在公理;④幂集合存在公理;⑤并集合存在公理;⑥分离公理模式;⑦替换公理;⑧无穷集合存在公理;⑨正则公理.另外还有⑩选择公理(AC).ZF集合公理系统加上选择公理AC就成为ZFC公理集合论系统.ZFC公理集合论系统中罗素悖论等悖论被赶走了,故ZFC公理集合论系统可以作为经典数学的逻辑依据,是康托集合论的形式化,在ZFC公理集合论系
7、统中康托集合论的所有结论都成立,从而ZFC公理集合论系统是最常用的公理集合论系统,也是为绝大多数数学家所接受的数学基础.由于ZFC公理集合论系统是经典数学的基础,在不加说明或者通常所说的数学研究中就必须以ZFC公理集合论系统为基础,必须接受ZFC公理集合论系统及其中的相应结论,如必须承认无穷集合的存在,数学归纳法及超限归纳法(从而接受无穷集合的归纳构造方法)等经典的数学知识.如果不承认这些前提,即使是严格推导出的结果,可能也已经不是经典数学的结论(也可能是数学结论,但是是其它数学系统中的结论,与经典数学结论可能完全不同).直觉主义数学
8、认为“:存在必须是被构造.”即数学中的概念和方法必须是构造性的,亦即只承认按固定方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法才是有效的.构造性亦称能行性.虽然直觉主义数学强调的能行性问题具有十分重大的现实意义,特别是在
