考研数学中的等价无穷小替换

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1、第7卷第1期北京教育学院学报(自然科学版)Vo1．7No．12012年3月JOURNALOFBEIJINGINSTr兀ITEOFEDUCAT10N(NATURALSCIENCEEDITION)Mar．20l2考研数学中的等价无穷小替换陈玉发(郑州职业技术学院，河南郑州450121)摘要：不定式(待定型)极F~-／g算是历年来考研数学必考的题目，罗比达法则是解决这类极限运算的有效工具．但罗比达法则也有它的局限性．如果把等价无穷小替换和罗比达法则结合起来用，不仅可以达到事半功倍的效果，而且有时还可以解决罗比达法则不适用的情形．关键词：考研数学；极限；罗比达法

2、则；等价无穷小替换中图分类号：0171文献标识码：A文章编号：1673—6923(2012)01—0001—041等价无穷小替换法则1．1等价尢夯小~limf(x)=0，)=o，且1，则称)与)是扩。时的等价无穷小·记做)~g)—。例如：lira鱼=1，所以sinx~x(x---+0)；同理，在-->o~，arcsinx~x，ta似，1一c。一手，1n(1+x)-x，1等．1．2等价无穷小替换法则如)=1．1ira一。髂(或(2)limf(x)h(x)=A(或∞)—。1)髂=l—ira。锯(或(2)limJx)h(x)=))(或∞)证日月．(-)貉=[错

3、。]=l—im。错‘碰Ax)=(2)limJ(x)h(x)=lira’))=l—ira。))=)=A—。也就是说，若。时，)g㈤，那么在极限运算中，可以用1替换1．2历年考研数学中的不定式极限的无穷小替换例1．2010年全国硕士研究生入学统一考试数学三第(1)题：收稿日期：2011-12—20作者简介：陈玉发(1969一)，男，河南荥阳市人，郑卅I职业技术学院副教授。万方数据北京教育学院学报(自然科学版)若limf一(一e]：1，贝40等于——．(A)0(B)1(C)2(D)3解lim[1一(}一e]：[(1一e，+]=lim—一(、1一e+liae=l

4、i一·(、-x)+a=一l+a=l所以．a=2．(这里利用了—时，ex-l)例2．2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三第(1)题：求极限1imxsin———．∞+1解limnx~．暑=·丽2x=暑=2(这里利用了--mH,~，sin暑～)例3．2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三第(15)题：求(等一)．解lim(I+X一1)=lim言lim—x+x2-1+e~"=—=·!x1．2+e-~3丁(这里利用了—0时，ex_l~x，所以1-e-x)例4．2004年全国硕士研究生入学统一考试数学三第(1)题：若lim—!一(cos一61=5，贝Uc=

5、——，6=——．—Up一n解因为limsinx：0，而lim(co一6)=5，所以，必有1ie5=0，所以a=1．—Ⅷr～P-a,aJxslnx于是，sm(c。一6)lcosx一6)=(c。一6)=1一b=5——口。所以．6=一4．例5．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三填空题第(1)题：设常数n≠1，则ln【器]=——解lim1n-2na+l]J_limf．1lZ——2na+1，r÷∞n一*【n-2na=lira·n1+1)]=!im·1=_(这里利用了n∞时，ln1+))例6．2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三第三题：[』。tn(1+

6、)d]dM求极限limrx(1一cos1‘2万方数据陈玉发：考研数学中的等价无穷小替换解掣=一：：．=手型=}·=．(这里利用了_0时，1一c0～1)以上各例利用等价无穷小替换达到了简化运算的目的，有兴趣的读者，可以利用罗比达法则算一下．比较一下两者的优劣．极限运算中，利用等价无穷小替换不仅可以达到简化运算的目的，而且还可以避免罗比达法则不适用的地方3罗比达法则不适用的情形在利用罗比达法则进行极限运算时，如果函数的导函数在该点不连续。则不能用罗比达法则计算．这时可以利用等价无穷小替换避免极限无法运算的情形．例7．武忠祥等编著的《2Ol1考研数学基础题集(

7、数一)》中的一元函数微分学练习题第17题，P23．蜘胁婀导测[]-一．解直接利用罗比达法则imf叶)1ml]=lirae似}一【—J一一Iq(a+~)-1q(a)．．．．．．．．．——因为lime似删：limelim~毒1_limf'(a+-xl'-)若／)在=口处连续，则原式：。：。．若厂)在x=a处不连续，则结果不能确定．例如)：{zsin+1≠0满足上题的条件，但I1．=O厂)=sin}一c。s}在：0不连续，因此，不能直接用罗比达法则运算．为了计算这个极限，就要避开厂)在x=a处不连续的情况，利用等价无穷小替换来解决．解根据微分的定义有万方数据北

8、京教育学院学报(自然科学版)／(叶})(Ⅱ)·1+。(})(其中。(})是比较高