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1、PureMathematics理论数学,2012,2,207-215doi:10.4236/pm.2012.24032PublishedOnlineOctober2012(http://www.hanspub.org/journal/pm.html)QuestionsofConceptonInfiniteandTheoryofRealNumber——TwoFundamentalQuestionsinMathematicalFoundations12JunyunCao,KaiCao1SchoolofMathematics
2、andInformationEngineering,HenanPolytechnicUniversity,Jiaozuo2SchoolofElectricalEngineeringandAutomation,HenanPolytechnicUniversity,JiaozuoEmail:cjy@hpu.edu.cn,caokai.pds@gmail.comthththReceived:Aug.15,2012;revised:Aug.28,2012;accepted:Sep.8,2012Abstract:Thepoint
3、ofviewof“infiniteaggregateisfinishedobject”on“actualinfinity”mustbeeliminated.Themeaningofinfinitetouseishasnottheend.Theinfinitymeantconstantisthefalseinfinitywhichhavenotexistinrealworld.Thesetofnaturalnumberisanidealsetwhichisalimitqualitysetandcouldnotbeendt
4、oconstitutebymankind.Themeaningofinfinitedecimaltouseisthesimplewritingofinfinitesequence.TheidealrealnumbersareallthelimitofCantor’sfundamentalsequence.Thecalculationofaddition,sub-traction,multiplication,divisionisthelimitpropertycalculation.Keywords:Infinite;
5、InfiniteAggregate;InfiniteDecimal;IdealRealNumber;OmnipotentApproximationRealNumber无穷的概念与实数理论问题——数学基础中的两个基本问题12曹俊云，曹凯1河南理工大学数信学院，焦作2河南理工大学电气学院，焦作Email:cjy@hpu.edu.cn,caokai.pds@gmail.com收稿日期：2012年8月15日；修回日期：2012年8月28日；录用日期：2012年9月8日摘要：“无穷集合是完成了的事物”的实无穷观点必须取消；无穷的
6、实用意义是“无有穷尽、无有终了的”。常量性无穷大是不存在的假无穷。自然数集合是一个极限性质的、不能被人构造完毕的理想集合。无尽小数的实用意义是无穷数列的简写。所有理想实数都是康托尔基本数列的极限。理想实数的加、减、乘、除运算是极限性质的运算。关键词：无穷；无穷集合；无尽小数；理想实数；全能近似实数1.引言从芝诺(Zeno)到现在，涉及无穷的悖论、难题多得不可胜数。文献[1]中讲到：“实无穷论者认为，无穷(在数学中表现为无穷集)是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识的。潜无穷论者否定实无穷，认为无[1]穷并不是已
7、完成的而是就其发展来说是无穷的，无穷只是潜在的”。康托尔认为“数学理论必须肯定实无穷”，但这样建立起来的实数理论与集合论、非标准分析都有问题。本文从具体实践出发，讨论一下无穷的正确概念与实无穷观点违背实践的情况。由此出发改善了实数理论与集合论，提出了实数的四则运算法则。Copyright©2012Hanspub207曹俊云，曹凯无穷的概念与实数理论问题2.无穷二字的原有概念及其初步应用“无有穷尽”简称为无穷或无尽，它是反映数量研究中一种现象、一种事实的成语。例如，根据自然数的继数公理，自然数集合中元素个数是无有穷尽的
8、，所以自然数集合是无穷集合；无尽小数0.333的位数是“无有穷尽”的，所以这个数叫做无尽小数；数列0.3,0.33,0.333,中的项数是“无有穷尽”的，所以这个数列叫做无穷数列。从上述无穷(或无尽)二字的意义与应用来看，应当知道：无穷与有穷的本质区别是：无穷不能当作定数；无穷是无有终了，无有最后元素的意思；无穷不是现实存在着
