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1、http://www.docin.com/wear1981数学MATHhttp://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/wear1981http://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/wear1981§5 无穷小量与无穷大量一 无穷小量与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义.定义1 设在某内有定义．若，则称为当时的无穷小量．若函数在某内有界，则称 为当时的有界量．类似地定义当，，，以及时的无穷小量与有界量
2、．例如，，与 都是当 时的无穷小量，是当时的无穷小量，而，为当 时的无穷小量．又如是当时的有界量，是当时的有界量．特别，任何无穷小量也必都是有界量．由无穷小量的定义可立刻推得如下性质：1.两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．例如，当时，是无穷小量，是有界量，故有性质2即得．clf,x=-0.1:1/500:0.1;http://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/wear1981y=x.^2.*sin(1./x);y1=x
3、.^2;y2=-x.^2;plot(x,y,x,y1,x,y2) 函数的图象如上图所示． 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论： 是当 时的无穷小量．二 无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有慢．为此我们考察两个无穷小量的比，以便对它们的收敛速度作出判断．设当时，与均为无穷小量．1．若，则称当时为的高阶无穷小量，为的低阶无穷小量，记作 （）．http://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/wear1981特别，为当时
4、的无穷小量记作 （）．例如，当时，，，（为正整数）等都是无穷小量，因而有（），，而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有（）．又如，由于＝＝．故有（）．2．若存在正数和，使得在某上有，则称与为当时的同阶无穷小量．特别当时，与必为同阶无穷小量．例如，当时，与皆是无穷小量．由于＝，所以 与 为当 时的同阶无穷小量．又如，当 时， 与 都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足，所以与为当时的同阶无穷小量．若无穷小量与满足关系式，，http://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/w
5、ear1981则记作 （）．特别，若 在某内有界，则记为 （）．例如 （）；（）； （）．甚至当（）时，也有（）．注：本段中的等式（）与（）等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类，而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经提到（） （1）其中 ，等式（1）表示函数 属于此函数类．3．若，则称 与为当 时的等价无穷小量．记作（）．例如，由于，故有（）．又由于（上节习题１（6）），故有（）．http://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.
6、com/wear1981以上讨论了无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较．例如，当时，和 都是无穷小量，但它们的比= 或 = 当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较．下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用．定理3.12 设函数，， 在 内有定义，且有（）．(ⅰ)若，则(ⅱ)若，则 证(ⅰ) (ⅱ)可类似的证明.例1 求解由于（）,（）, 故有定理3.12得. 例2 利用定价无穷小量代换求极限http://www.doc88.com/wear198
7、1http://www.docin.com/wear1981.解由于=,而（）,（）,（）,故有 = 注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例2中,若由（）,（）,而推出 =, 则得到的是错误的。例 在 时是等价无穷小量因为 所以， 时 是等价无穷小量，记做 clf,x=0:1/100:1;y=sin(x);y1=1-cos(x);subplot(1,2,1)plot(x,y,x,y1,'linewid
8、th',2),holdonhttp://www.doc88.com/wear1981http://www.docin.com/wear1981legend('sinx','1-cosx')subplot(1,2,2)y2=(1/2)*x.^2;plot(x,y1,x,y2,'
