无穷的数学认识

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1、第五节无穷的数学认识无穷，在自然科学（也包括高等数学）中认为它是不存在的，姑且这样说吧，但我们仍然认为一个科学工作者不能没有对“无穷”的思维修养。这也是作者的一点体会。的确，比如据说数学的定义（描述性）有两百多个，其中一个说“数学是研究无穷的科学（希尔伯特）”即揭示出数学的又一大特征。数学对无穷的研究无论从其历史深度、广度和抽象度求讲，都是其他任何学科所不及的。同时后面将越来越多地看到，许多深刻的数学成果都是在无穷概念（比如元穷级数）下得到的。本节仪对无穷作一次初步的一般认识，鉴于数学中无穷概念之重要，涉及无穷的内容Z多和数学修养屮“无穷思维”Z不可少，我们在第

2、十一章专门认识“无穷小世界”时，还将对无穷小概念作系统认识。一、无穷的基本类型无穷又叫无限，基本上有无穷大、无穷小和无穷多三大类型，其中最基本的还是前两者，一般记无穷大为O0,则无穷小即为丄；若记无穷小为0,则无穷大即00为丄（不过得注意这时字母0不是0,因为无穷小只是极限为0的变量而不是0）。称无穷大与无穷小Z间的关系为反演关系。据此，知道了其屮任一个的性质即可了解另一个的性质而不必重复。数学中为表述“无穷大”的性质，提出了一个“任意大”术语。任意大总是有限的，所以任意大不是无穷大，它们之间有本质差异。一个集合X为无穷大是说在X中任意指出一个任意大的集合X’，

3、都可以在X中找出一个这样的集合X”uXjX'uX"。显然这里集合X可以是高维空间，可以是一维数轴，也可以是一维时间（正实轴或叫半数轴），也可以是0维点集（无穷多元）。关于“无穷大”的公理化概念，一般是经极限定义推出无穷小，再反演而成（见任一本《高等数学》）,这里免述。岀于直观理解，在欧氏空间意义下的数学中认为无穷大是不存在的、发散的,但在个別（非欧）情形为着形式化分析的需要，可以把无穷大作为一个数或一个几何点（无穷远点、无穷远边界）来处理。比如拓扑空问中“加点紧化”处理，动力系统在相空间作全局分析时的“无穷远奇点”和“无穷远边界”等处理手段，就是如此。这在“射影

4、几何”屮即可得到证明，它是合理的（进一步的内容，见第六章第二节、五和第十章第三节）。一般说，用有限形式来表述无穷，最基木的方式是周期。比如，一般周期的定义域皆无穷空间。不过，比如无穷序列只有它的序号才有周期，而“无穷序列”也仅当其“序列通项”（作为序号的函数看）具有规律时（能用公式写出时）才是可认识的。至于“无穷多”，实则无穷多元的集合情形。关于无穷多元集的研究有两大类型:一类是无穷多元间的组合关系研究；另一类是无穷集合的结构认识。关于无穷组合，比如数论即属“整数”这个无穷集合的无穷组合形式认识。此外,组合论、组合拓扑自然也是对无穷组合集（组合空间）的认识问题。

5、特别地，如今对（将谈到的）混沌的认识和计算复杂性研究等皆属这类无穷组合形式的认识。对无穷组合的认识也已成为数学的一个方面的内容，自然也有必要加强这方面的思维修养，至于无穷集的结构认识，典型的则是以认识实数结构为背景的一般集合论和公理集合论（参见第六章）。二、科技发展一向无穷的迈进这里将说明，对“无穷”这个纯粹抽象的“不存在的”对象之研究并非无意义。不妨说，人类共同奋斗的方向正向着它迈进呢，因此作为人类理性认识的前沿科学之一，数学不能不研究无穷，惟恐不能深入。事实上，生命凭着它的周期可以无穷下去，时间、天体都在凭着它的周期无限下去，原则上机器也在凭借周期元限运转，

6、汽车也在凭借周期无限前进。。。。牛活中周期运动太多了，它们都直接联系着无穷概念。再看人类的奋斗，比如人类对空间的探索正在迅速扩张，其“视野”已达120亿光年，印迹己达火星。乂如人类的空中客车、远洋油轮等运载工具以及摩天楼、大跨桥等建筑设施则越来越高、越来越大。另一方面，人类在微细工程技术上已进入纳米级，在实验技术上已达到基本粒子，达10-15m,在时间分辨上达10也so再加上人类的高精尖工程,如航天器和微电子设备上的复杂性程度，简直可以说人类正在向无穷（大、小）迈进，尽管它与真止的“无穷”述有着本质的差距(差距仍为8)。所以，若能从理性上较好地认识无穷，必然对科

7、技事业大有裨益，甚至说这就是科技理论的需要。何况人类为获得有限理论成果，也需要无穷概念和无穷知识呢。比如没有无穷概念就没有微积分方法，就没有傅里叶分析以及如今的小波分析等。三、无穷认识小史简述(1)不难看出，当初毕达哥拉斯的有理数错谋就岀自对无穷小的起码认识不足。尽管人们很快就看到了这点，但仍然无法认识无穷小，因此产生了穷竭法以冋避无穷小。事实上，当吋产生的公理化方法，从思想源流来看仍属“穷竭法”思想。当然，穷竭法并不错，至今仍不失为数学中的一种证明方法，只是它的运用“场合”极为有限，更不能把整个数学都建立在穷竭法上，若这样就比直觉主义思想还要狄窄了。(2)几乎

8、在穷竭法产生的同时，哲学