无穷小的发展及其认识

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1、摘要微积分是高等数学的基本组成部分，它不仅在高等数学中占有重要地位，而且也是现代化建设和高科技发展不可缺少的有效工具。而无穷小是微积分理论的最基本概念之一，在微积分理论体系中，无穷小是一个必须要弄清楚的概念。然而，人们对无穷小的认识却经历了一个漫长的过程。直到十八世纪，仍然没有较完善的解释无穷小概念。无穷小是什么？无穷小究竟能不能是零？我们怎样确切地描述它？这些问题引起了数学界乃至哲学界的争论长达一个半世纪。无穷小问题至关重要，若其不能解决，极限概念就无法建立，微积分理论就不会完善。到十九世纪二十年代，无穷

2、小概念才有了比较合理的解释。为了更好地学习微积分理论，掌握现代化科学文化知识，正确认识无穷小量的历史发展根源及其内涵也是非常重要的。本文主要通过无穷小的历史认识无穷小的地位和价值。关键词：无穷小量，微积分，发展，认识DevelopmentandunderstandingofinfinitesimalAbstract：Calculusisthebasicpartofhighermathematics,itnotonlyoccupiesanimportantpositioninhighermathematics

3、,anditisalsoaneffectivetooltomodernizationandhigh-techdevelopmentessential.Buttheinfinitelysmallisoneofthemostbasicconceptsofcalculus,calculustheory,infinitelysmallisamusttoclarifytheconceptof.However,people'sawarenessoftheinfinitesimalhasexperiencedalongp

4、rocess.UntileighteenthCentury,thereisnoperfectinterpretationoftheconceptofinfinitesimal.Infinitesimaliswhat?Infinitesimalwhatcannotbezero?Howcanwedescribeitexactly?Theseproblemscausedbythemathematicscommunityandphilosophicaldebatefor1.5century.Essentialinf

5、initelysmallproblem,ifnotsolved,theconceptoflimitcannotbeestablished,calculustheoryisnotperfect.InnineteenthCenturytwentytime,theideaofinfinitesimalisrelativelyrationalexplanation.Inordertobetterlearningcalculustheory,masterthemodernscientificandculturalkn

6、owledge,causesthehistoricaldevelopmentandconnotationofthecorrectunderstandingofinfinitesimalisalsoveryimportant.Inthispaper,thehistoricalunderstandingthroughinfinitesimalinfinitesimalstatusandvalue.Keywords:infinitesimalcalculus,development,understanding目录

7、一、引言1二、无穷小的发展及历史过程1（一）无穷小概念的产生1（二）牛顿和莱布尼茨对无穷小量的认识21.牛顿与无穷小量22.莱布尼茨与无穷小量3（三）莱布尼茨和牛顿对无穷小的异同6（四）无穷小量在第二次数学危机中的原因6（五）无穷小的最后完善8三、无穷小在数学中的应用9（一）定义中的无穷小9（二）无穷小量性质9（三）在近似计算中的无穷小10（四）函数极限中的无穷小13（五）无穷小的比较在判别正项级数的敛散性中的应用14（六）无穷小量在型极限中的应用15（七）无穷小在证明问题中的应用16四、结束语17参考文献

8、18一、引言“无穷小”的出现是初等数学向高等数学转变的一件具有划时代意义的大事，从此出现了一个新的数学分支——微积分。它是微积分学的基础理论，并且在数学的许多领域中也起着重要的作用。可是，这一概念的出现并不是在微积分创立时就已成为微积分学的基础。它的建立经历了一个漫长而艰苦的过程。本文研究“无穷小量”的建立和发展的历史，认识其对数学发展的意义和作用即在数学中的应用。根据有关史料，试就“无穷小”的建立及其对数学发展