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1、第31卷第3期河北理工大学学报(自然科学版)Vol.31No.32009年8月JournalofHebeiPolytechnicUniversity(NaturalScienceEdition)Aug.2009文章编号:1674-0262(2009)03-0102-04等价无穷小的性质及其运用推广龚萍(攀枝花学院计算机学院,四川攀枝花617000)关键词:等价无穷小;性质;极限;比较审敛法;应用摘要:等价无穷小在求极限的运算中和在正项级数的敛散性判断中有着重要的作用,能达到洛必达法则所不能取代的作用,通过举例对比了不同情况下等价无穷小的应用,以及在应用中应注
2、意的条件。正确利用等价无穷小,可使一些原本复杂的问题变得简单,同时避免出错。中图分类号:O15,O172.1文献标志码:A0引言等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一,但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅用在“无穷小的比较”中,事实上在近似计算、广义积分,判断级数的敛散性,特别是在求极限的运算过程中,等价无穷小往往可以使一些复杂的问题简单化。同时我们也要知道如果运用不当,它也会使我们错误百出,有时甚至还很难判断错在什么地方。因此,我们有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解。[1]1等价无穷小的概念及其重要性质1.1等价无穷小的概念首先无穷小的定义是以极限
3、的形式来定义的:设函数f(x)在x0的某一去心领域内有定义(或x大于某一正数时有定义)。如果对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ(或正数Φ),使得对于不等式0Φ)的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)<ε,那么称函数f(x)当x※x0(或x※∞)时为无穷小。记作limf(x)=0(或limf(x))x※x0x※∞β在此基础上定义等价无穷小:记α,β为同一自变量下的两个无穷小,其中α≠0,当lim=1,就说β与αα是等价无穷小,记作αβ。1.2等价无穷小的常用性质设α,α′,β,β′,γ为同一自变量变化过程中的无
4、穷小,则β′ββ′(1)若αα′,ββ′且lim存在,则lim,=lim,给出了等价无穷小的商的极限求法;α′αα′(2)若αβ,βγ则αγ,表明等价无穷小具有传递性。2等价无穷小的应用2.1等价无穷小在求函数极限中的应用当x※0时,常见的等价无穷小有:x(1)xsinxtanxarcsinxarctanxln(1+x)e-11212nx(2)1-cosxx(3)secx-1～x(4)1+x1+22n收稿日期:2008-10-12第3期龚萍:等价无穷小的性质及其运用推广103n当x※1时,常见的等价无穷小有:x-1n(x-1)tanx-sinx例1lim3x
5、※0sinx可在做题时,学生往往忽略在和(差)中不能直接等价替换这一性质,从而得到错误解答:x-x当x※0时,用x替换tanx,对sinx也用x替换,得lim3=0x※0x实际上,在加减运算的求极限中是可以使用等价无穷小的,不过它有自身的一些限制,现在我们就来探究一下。β1°若αα′,ββ′且lim=c(c≠-1),则α+βα′+β′α1β1β+1+α+βα′αα′α′α1+c1+c1+c证明:∵lim=lim=lim=lim=lim=lim=1α′+β′1β′1β′β′αββ′1+c+1+1+1+··ααα′αα′α′α′αβAα′+Bβ′Aα′+Bβ′A
6、α+BβAα+Bβ2°若αα′,ββ′且lim存在,则当lim≠0且lim存在,有lim=limCα′+Dβ′Cα′+Dβ′Cα+DβCα+DβAα′+Bβ′(其中A、B、C、D为已知常数)Cα′+Dβ′此性质的证明见文献[2]。β-sinx由此可见,例1中学生忽略了限制条件lim=c(c≠-1),因lim==-1不满足c≠-1的条件,αx※0tanx故不可以直接利用等价无穷小替换来做。例1的正确解法应为:1sinx-1tanx-sinxcosx1-cosx111lim3=lim3=lim2=lim2=lim=x※0sinxx※0sinxx※0cosx·si
7、nxx※0sinxx※02cosx22cosx·2x(此题也可用洛必达法则求解)11例2lim2-2x※0sinxx22x-sinx解:上式可化为lim22,如果直接使用洛必达法则,而不用“等价无穷小替代”,那么在四次使用洛x※0xsinx必达法则的过程中,分母上的求导运算将越来越复杂。对上式中分母上的无穷小量sinx若用等价无穷小量x来替代的,便可将上式化为较为简单的式子limx※022x-sinx4,虽然仍要使用洛必达法则,但是其运算过程中就较为简单。xex2-1t∫1-cosdt-∞2例3lim6x※02xx2t∫1-cosdt-∞2解:原式=lim6
8、(应用等价无穷小得左边式子)x※02x2x1-cos
