等价无穷小性质理解

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1、等价无穷小性质的理解、延拓及应用肖岸纯    (XXXX大学，重庆400050)  【摘要】等价无穷小具有很好的性质，灵活运用这些性质，无论是在在求极限的运算中，还是在正项级数的敛散性判断中，都可取到预想不到的效果，能达到罗比塔法则所不能取代的作用。通过举例，对比了不同情况下等价无穷小的应用以及在应用过程中应注意的一些性质条件，不仅使这些原本复杂的问题简单化，而且可避免出现错误地应用等价无穷小。【关键词】 等价无穷小　极限　罗比塔法则　正项级数比较审敛法　　Comprension，ExpandandApplicationofEquivalentInfinitesimal'sChar

2、acter　Abstract EquivalentInfinitesimalhavegoodcharacters,bothinopreationoftestforLimitanddeterminewhetherthepositiveseriesconvergesordiverges,ifthesequalitythatapplyflexiblycanobtainmoreeffect,theeffectioncannotbereplacebyL'HospitalRule.thispapergiveexamplesandcomparesomeinstancetopayattention

3、toconditioninapplicationofEquivalentLimit,sothequestioncanbesimplyandavoiderrorinapplication.   Keywords  equivalentInfinitesimal; limit;   L'Hospitalrulepositiveseries;  comparisontest 　　等价无穷小概念是高等数学中最基本的概念之一，但在高等数学中等价无穷小的性质仅仅在“无穷小的比较”中出现过，其他地方似乎都未涉及到。其实，在判断广义积分、级数的敛散性，特别是在求极限的运算过程中，无穷小具有很好的性

4、质，掌握并充分利用好它的性质，往往会使一些复杂的问题简单化，可起到事半功倍的效果，反之，则会错误百出，有时还很难判断错在什么地方。因此，有必要对等价无穷小的性质进行深刻地认识和理解，以便恰当运用，达到简化运算的目的。　　1 等价无穷小的概念及其重要性质［1］   无穷小的定义是以极限的形式来定义的，当x→x0时(或x→∞)时，limf(x)=0，则称函数f(x)当x→x0时(或x→∞)时为无穷小。　　当limβα=1，就说β与α是等价无穷小。   常见性质有：   设α,α′,β,β′,γ等均为同一自变量变化过程中的无穷小，①若α～α′,β～β′，且limα′β′存在，则limαβ

5、=limα′β′②若α～β，β～γ，则α～γ   性质①表明等价无穷小量的商的极限求法。性质②表明等价无穷小的传递性若能运用极限的运算法则，可继续拓展出下列结论：   ③若α～α′,β～β′，且limβα=c(≠-1)，则α+β～α′+β′　　证明：∵limα+βα′+β′=lim1+βαα′α+β′α′=lim1+c1+αα′·βα·β′β=lim1+c1+c=1 ∴α+β～α′+β′　　而学生则往往在性质(3)的应用上忽略了“limβα=c(≠-1)”这个条件，千篇一律认为“α～α′,β～β′，则有α+β～α′+β′   ④若α～α′,β～β′，且limAα′±Bβ′Cα′±D

6、β′存在，则当Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0且limAα±BβCα±Dβ存在，有limAα±BβCα±Dβ=limAα′±Bβ′Cα′±Dβ′　　此性质的证明见文献［2］，性质③、④在加减法运算的求极限中就使等价无穷小的代换有了可能性，从而大大地简化了计算。但要注意条件“limβα=c(≠-1)”，“Aα′±Bβ′Cα′±Dβ′≠0”的使用。　　2 等价无穷小的应用　　2.1 在求极限中经常用到的等价无穷小有x～sinx～arcsinx～tanx～arctanx～ln(1+x)～ex-1,  1-cosx～12x2, n1+x～1+xn,(x→0)　　例1 limx→0tanx-

7、sinxx3　　解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵sinx～x,1-cosx～x22)=12　　此题也可用罗比塔法则做，但不能用性质④做。   ∵tanx-sinxx3=x-xx3=0，不满足性质④的条件，否则得出错误结论0。　　例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2　　解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53　　用性质④直接将等价无穷小代