《无穷小及其比较》PPT课件

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1、一、无穷小1.定义与形式说明1)极限为零的变量称为无穷小,常用等表示;§1.5无穷小与无穷大2)零是可以作为无穷小看待的唯一的数.例1其中为时的无穷小量.2.无穷小与函数极限的关系证明当时,有附注对自变量的其它变化过程类似可证.定理1特殊情形：正无穷大，负无穷大:注意不能与很大的数相混淆;2)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界量未必是无穷大!1)无穷大是指绝对值无限增大的变量,二、无穷大3)无穷大必定无界,但反之不真!所以时,不是无穷大!而函数垂直渐近线例2函数当时是.几何意义以x=1为垂直渐近线；当虽有但是；三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则

2、证明(用定义可证,留为练习)据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2在自变量的同一变化过程中,说明四、无穷小比较及其意义与方法1.引例这里比值的极限不同,反映了原来函数趋向于零的“快慢”速度不同.称不可比较.观察各极限设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且是的高阶无穷小是的同阶无穷小是的等价无穷小是的k阶无穷小2.定义3,则例3时,有～～特别是例4证明:～证明～而由知:是x的二阶无穷小,～且～～定理3证即即3.等价无穷小的充要条件此时,亦称是的主要部分.常用等价无穷小有:例5解定理4设且存在,则证明例6由上面已知的等价无穷小,有4.等价无穷小代换及其应

3、用例7解1)若未定式的分子或分母是若干个因子的乘积时,可对其中任意一个或几个无穷小因子作(整体性的)等价代换,这是非常简便的极限求法．注意事项:切记:只可对函数的因子作等价无穷小代换;对于代数和中的各个无穷小,不能简单地分别作代换.2)不能滥用等价无穷小代换.例8求解原式1.无穷小与无穷大的概念2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小比较的意义与方法四、小结与练习五、作业1.课堂练习：习题1-5：思考题；1②；3②④；2.课后作业：习题1-5：1①；2；3①③；4.等价无穷小的应用及常用的等价无穷小若在同一变化条件下,,为无穷小,无穷小的性质,①和差取大规则由等价可得简化某些极限运算的下

4、述规则:若=o(),②和差代替规则例如,附录1关于代数和中等价无穷小的代换方法③因式代替规则界,则例如,例如,例9解⑥迫敛法则附录2求极限的方法总结①初等变形法(四则运算、复合运算、无穷大量消去法、零化因子消去法）③重要极限公式法②等价无穷小代换法（注意条件与要求）④特殊变形化简法(有理化、数列求和、变量替换)⑤单调有界定理(由递推公式)截止目前,我们已经掌握和使用过的求极限方法有: