riesz空间分数阶扩散方程的中心差分方法

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1、Riesz空间分数阶扩散方程的分数阶中心差分加权离散格式邓娟，郑洲顺*中南大学数学与统计学院，湖南长沙，410083摘要：在有限区域内考虑带齐次Dirichlet边界条件的Riesz空间分数阶扩散方程的初边值问题，利用分数阶中心差分对空间方向进行离散，在时间方向上用隐式和显式Euler格式的加权平均进行离散，构造了空间2阶、时间阶()的全离散加权差分格式。利用函数的单调性证明了当加权因子时差分离散格式是无条件稳定的，当时差分离散格式是条件稳定的，并给出了稳定的条件。证明了相应差分离散格式的收敛性。用实际数值算例验证了差分离散格式的有效性。关键词：Riesz

2、导数；分数阶扩散方程；分数阶中心差分；稳定性分析；收敛性分析中图分类号：O241.82文献标识码：A分数阶微分方程越来越多地出现在不同的科学领域的应用中，例如分数阶扩散方程、波动方程、薛定谔方程、电报方程、弛豫振荡方程等等[1-5]，应用领域涵盖了流体力学[3,6]、地下水模拟[7]、、湍流[8]、生物数学、统计力学、分形介质中的扩散问题等。由此，分数阶微分方程求解也受到越来越多的关注，尤其是数值方法。以往的差分方法大多数是基于Grunwald-Letnikov导数得到的逼近格式[9-13]，或基于数值积分的思想[13-15]，或利用Richardson外

3、推技巧[10,16]等方法来得到的。作为一个新的方法，Ortigueira[17]给出了分数阶中心差分（FractionalCentredDifference）的定义，证明了解析函数的Riesz导数可以由分数阶中心差分来表示。C.Celik[18]等用分数阶中心差分的定义构造了一种二阶精度的Crank-Nicholson差分算法。本文将利用分数阶中心差分构造Riesz空间分数阶扩散方程的加权平均差分格式，分析相应格式的稳定性和收敛性，用数值算例验证算法的可行性。这里考虑如下的带齐次Dirichlet边界条件的Riesz空间分数阶扩散方程的初边值问题（1）初

4、边值条件为：，。其中，为扩散系数，为源项，分数阶导数为Riesz分数阶导数，即。1差分格式的构造ManuelD.Ortigueira在文献[17]中给出了分数阶中心差分的如下定义，（2）其中，，并给出了分数阶中心差分与分数阶导数的逼近关系如下：。为了方便起见，记，则上述逼近关系即为。（3）在有限区域内，对于给定的均匀网格剖分的空间步长和时间步长，有，从而有（4）其中，为截断误差。在文献[18]中，CemÇelik对Riesz分数阶导数的中心差分逼近格式（4）的精度进行了分析，证明了其逼近精度为二阶，为叙述方便将其结论作为引理如下。引理1令，且，令为分数阶中

5、心差分，则当时，有其中，为Riesz导数，且。一般地，对扩散方程（1）的时间导数差分离散的隐式和显式Euler格式分别为，，根据上述隐式和显式Euler格式，用加权平均的方法给出其如下差分格式：。（5）其中，为加权因子。对带齐次Dirichlet边界条件的Riesz空间分数阶扩散方程的初边值问题，用分数阶中心差分离散Riesz空间分数阶导数，再将时间导数用隐式和显式Euler格式的加权平均的进行离散，从而得到其全离散格式为：（6）其中，。2误差分析由的表达式，容易得出下面的结论[18]。引理2关于系数有如下性质：（i）；（ii）；（iii）；（iv）。在文

6、献[18]中给出了数值逼近的系数与生成函数的关系，即，其中。当时，上式变成，根据性质（i）和（ii）中的正负情况，则有。于是（iv）得证。□定理1Riesz空间分数阶扩散方程的初边值问题的全离散格式（6）的截断误差阶为，其中，当时，，当时，。证：令为方程（1）的解析解，则差分格式的局部截断误差为：，由于，且由引理1，有，则由方程（1）有，，上式可变换为：。由此，可以得出截断误差为然后将上述微分在处展开，有因此，当时，，当时，。□根据定理1，得到所构造的全离散格式的逼近精度在空间方向是二阶的，当时，在时间方向是二阶的，当时，在时间方向是一阶的。3稳定性及收敛

7、性分析为了方便进行差分格式稳定性和收敛性分析，先将离散格式用矩阵形式表示。由齐次Dirichlet边界条件，可令，将方程（1）中的源项的离散向量记为，即，考虑在节点处的分数阶算子的离散形式中的和式部分，即，根据区间的剖分，记。令，记矩阵，从而得全离散格式（6）的矩阵形式为：。（7）令、分别为矩阵A、B的特征值，则由圆盘定理（Gerschgorin’sCircleTheorem）有由引理2中关于系数的性质（iv）有即，则根据有，。如果要Riesz空间分数阶扩散方程初边值问题的差分格式（7）是稳定的，则需要证明矩阵的特征值满足条件。定理2针对Riesz空间分数

8、阶扩散方程初边值问题的差分格式（7），当时，差分格式（7）是无条件