分数阶差分方程理论

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1、分数阶差分方程理论程金发著厦门大学出版社南强丛书[第五辑]序言分数微积分与分数微分方程发端于1695年Leibniz和L’hospital的通信对话，亦即315年前已提出变元增量为非整数次幂时相关的极限问题.所以，这里说的是积分的次数与微分的阶数不一定是整数，而可以是任意实数甚至是复数的情形.但此后到1812年的一百多年间，虽然有Euler,Bernoulli等一大批数学家的关注，分数微积分与分数微分方程仍然只是数学界的一些议论和猜测而已.自从1812年Laplace用积分定义一个分数的导数开始到1974年间才有许多背景促进了陆陆续续的局面研究，并取得一

2、些进展.其中Riemann引入的定义沿用至今.本分支系统而快速的发展是因为1974年以来由极其广泛的应用背景推动的.这几十年涌现了大量的论文、专著，举行了多次分数微积分与分数微分方程理论和应用的国际会议.美国“数学评论”（MR）的分类目录中已列出专项.同时，由于它在物理学中的应用，还引起了对经典物理定律的杯葛和激烈辩论，呈现出一派欣欣向荣的兴旺局面，然而这一切基本上只限于分数微分方程，对与它相应的分数差分方程则鲜有学者问津.我们相信广泛开展分数差分方程的研究是势在必行的，因为它对理论和应用来都十分重要.我们可以从两个不同的途径得到分数阶差分方程这一研究对

3、象.情形一，由已知的整数阶或分数阶微分方程离散化得到；情形二，由应用问题得到的数据直接构建所要的差分方程.对情形一来说，无论是整数阶差分方程还是分数阶差分方程，与原先的微分方程比较起来有时有明显的优点.例如它更贴近应用背景的实际状况，而且易于运用先进的计算机求解手段.有时在适当的条件下，差分方程解的性态与原先的微分方程解的性态十分接近.对情形二则要求直接分析此差分方程解的各种性态.然而，迄今已有一系列分数微积分与分数微分方程的专著问世，而未见到分数差分方程的系统研究以及相应的专著出版.本书是作者一系列研究工作的总结，也是国同外这个课题的第一本专著.书中体

4、现作者的开创性工作：从提出分数和分与分数差分概念开始，建立完善的分数差分方程概念，推广各种已知方法，到把它们运用到几类重要的分数差分方程基本理论上去，自成体系.事实上，由于所讨论问题很有难度，作者颇费心思，他沿着两个工作而进行工作：其一是推广经典的整数阶差分方程的已知概念与方法，其二是把分数微分方程用到的工具离散化，建立适用于分数差分方程的工具.例如分数阶和分及分数阶差分的Z变换公式、离散的Mittag-Leffler函数、i南强丛书[第五辑]离散的Green函数等.我们相信本书的出版必定会大大推动分数差分方程的各项研究工作.虽然作者在本书的“后记”中谦逊地

5、表示“本书不是通常的严谨教科书”，但我却认为这是一本合适的研究生教材，阅读此书是涉足本领域的快捷办法.特地推荐给有志于此的青年读者，希望他们由此书出发，深入到分数阶差分方程的未来研究热点，如混沌、周期解与概周期解、稳定性与振动性等，期望能取得领先于国际同行的成绩.郑祖庥2010年6月于安徽大学ii南强丛书[第五辑]前言众所周知，对于通常的整数阶差分方程及微分方程，由于系统研究的时间相当早，加上诸多大数学家如莱布尼兹、伯努利、欧拉、拉格朗日等的参与，研究成果十分斐然，因而系统的著述也很多，许多经典内容都已经编进了大学本科的教科书中[1-6,18-21].并

6、且知道，整数阶差分方程的许多结论都具有与微分方程十分相似的良好的可比性质.然而关于分数阶常微分方程的探讨可能还是近一二十年前的事情.例如，S.G.Samko,A.A.Kilbas,O.I.Marichev在他们的百科全书式的著作[7]中就系统总结了分数阶微积分的成果，并提出了分数阶常微分方程解的存在唯一性等.对分数阶常微分方程的解法做出本质贡献的，不得不提到Miller,K.S.,Ross,B.,他们在书[8]中利用超越函数和Laplace变换，以及分数阶Green函数方法，娴熟而系统地研究了分数阶常系数微分方程，得到大量的精妙结果，极大地引起了数学家们

7、的兴趣和关注.之后又有两本分数阶微分方程的专著[10-11]相继出版,以及大量的相关文献[9,12-17,26-32]等等.我们自然要问:能不能建立相应的分数阶差分以及分数阶和分理论呢？相应的分数阶差分方程是什么呢？不少数学家致力于这方面的探索，如S.G.Samko,A.A.Kilbas,O.I.Marichev在书[7]中20节给出了一种分数差分的定义,这种定义对于分数阶微分方程数值解是十分有用的.然而该定义也有局限性,例如，当α为负数时，无法保证其收敛.另外，这种定义的无限差分形式，使得即使是最简单的分数差分方程，理论上也无法取得突破求精确解，更不用

8、说得到大家都期望的那样：分数阶差分方程理论也有与分数阶微分方程理论那样良好相似的