低扩散分数阶微分方程有限差分方法

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1、南京航空航天大学硕士学位论文低扩散分数阶微分方程的有限差分方法姓名：陈卓申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：张鲁明2011-03南京航空航天大学硕士学位论文摘要分数阶微分方程在科学工程领域中有着大量的应用，这促使我们不断寻求稳定、高效且快速的求解方法，其中有限差分方法是求解微分方程定解问题运用最广泛的数值方法。本文主要探讨了低扩散分数阶微分方程的有限差分方法。第一章简要介绍了分数阶导数的定义、在工程科学领域的应用实例以及研究现状。第二章讨论了低反应扩散方程，利用紧算子构造了高阶的差分格式，用矩阵方法证明了差分解的存在唯一性，并且用Fourier方法分析了格式的

2、稳定性，同时证明了格式的收敛性。数值试验表明了此方法的有效性。第三章对于二维低扩散方程做了初步研究，分别给出了隐格式、紧格式，讨论了差分解的唯一性、稳定性，并用Lax相容性定理给出格式的收敛性。为提高计算速度、节省存储空间又构造了交替方向隐格式（ADI格式），并分析了格式的稳定性、收敛性。每个格式均给出了相应的数值实验验证了理论分析的正确性和可行性。最后比较了三个格式的误差和计算时间，证实了ADI格式的快速有效性。关键词：低反应扩散方程，二维低扩散方程，有限差分方法，Fourier方法，紧格式，ADI格式i低扩散分数阶微分方程的有限差分方法AbstractFract

3、ionaldifferentialequationshavebeenappliedextensivelyinscienceandengineering,whichencouragesustoseekforstable,efficientandrapidnumericalalgorithms.Thispaperstudiessubdiffusionfractionaldifferentialequationsbyfinitedifferencemethods.InChapter1,webrieflyintroducethreedefinationsoffraction

4、alderivatives.Manyfractionaldifferentialmodelsaregenerated.Presentstudiesonfractionalequationsarealsodiscussed.InChapter2,afractionalreaction-subdiffusionequationinonespacevariableisexplored.Ahighordercompactfinitedifferenceschemeispresented,anditsuniquenessisprovedbythematrixmethod.We

5、analyzethestabilityoftheschemebytheFouriermethod,andprovetheconvergencesimultaneously.Numericalexperimentsarecarriedouttoverifytheefficiencyofthescheme.InChapter3,wedosomepilotstudyforatwodimensionalsubdiffusionequation.Firstlyweprovideanimplicitschemeandacompactschemerespectively.Then

6、wediscussthesovability,stabilityofthetwoschemesandanalyzetheconvergencebytheLax'sEquivalenceTheorem.Inordertoenhancethecomputationspeed,weconstructanAlternatingDirectionImplicit(ADI)schemeandanalyzeit’sstabilityandcenvergence.Numericalexperimentsareprovidedtoverifythetheoreticalvalidit

7、yandfeasibility.Intheend,weprovidethecomparisontableoftheerrorsandcomputertimetoverifythespeedandefficiencyoftheADIscheme.Keywords:Reaction-subdiffusionequation;Two-dimensionalsubdiffusionequation;Finitedifferencemethod;Fouriermethod;Compactscheme;ADIschemeii低扩散分数阶微分方程的有限差分方法图表目录表2.1