二维空间时间分数阶色散方程的差分方法

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1、2015年12月第41卷第12期北京航空航天大学学报JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsDecember2015V01．41No．12http：ffbhxb．buaa．edu．enjbuaa@buaa．edu．enDOI：10．13700／j．bh．1001—5965．2014．0813二维空间时间分数阶色散方程的差分方法张英晗，杨小远+(北京航空航天大学数学与系统科学学院，北京100191)摘要：通过把标准的二维色散方程中的一阶时间导数替换成Caputo分数阶导数，两

2、个二阶空间导数分别替换成Riemann．Liouville分数阶导数，得到二维空间时间分数阶色散方程．基于两个空间分数阶导数的转移Grunwald有限差分近似，分别构造了逼近二维空间时间分数阶色散方程的隐式差分格式和交替方向隐式差分格式．对两种差分格式分别进行了相容性、稳定性和收敛性分析．应用数学归纳法证明了两种隐式差分格式都是无条件稳定和收敛的并且得到了收敛阶．对两种隐式差分格式的收敛速度和计算复杂度进行了比较．基于以上所构造的差分格式，对精确解已知的一个空间时间分数阶色散方程进行了数值实验模拟，模拟结果验证了理论分析的正确性．关键词：分

3、数阶导数；分数阶色散方程；有限差分方法；稳定性；收敛性中图分类号：0241．82文献标识码：A文章编号：1001—5965(2015)12．2296-06分数阶偏微分方程模型在模拟许多复杂的物理现象中是非常有效的模型，在金融经济、半导体、生物、水文、控制理论等领域都有着重要的应用¨‘51．例如分数阶扩散方程可描述反常扩散系统中的粒子输运现象旧‘3。，空间分数阶偏微分方程可用来模拟超扩散现象(系统中微粒子流的传播速率比传统的Brownian运动预测模型预测的速度快“1)．随着分数阶微分方程理论研究的不断完善，分数阶偏微分方程数值方法的研究引起

4、了学者们越来越多的重视．最近几年，出现了许多分数阶偏微分方程数值方法的成果．Liu等¨o提出了一种直线法，把空间分数阶Fokker．Planck方程转化为一阶微分系统进而求其数值解．Meerschaert等心。o和Tadjeran等”。61分别提出了空间分数阶偏微分方程的显示Euler方法、隐式Euler方法和分数阶Crank—Nicolson(C—N)方法，进行了稳定性和收敛性分析．Liu等¨1讨论了Levy—Feller对流弥散过程的随机步和有限差分逼近．Zhuang等‘81考虑了一类变阶的分数阶对流扩散方程的显式和隐式Euler格式，

5、进行了收敛分析．更多分数阶偏微分方程数值方法的文献，可参考文献[4-18]．注意到很多分数阶微分方程差分方法的文献处理的都是一维问题空间分数阶导数或者时间分数阶导数，对高维问题以及空间时间分数阶导数很少有人涉及¨’9。．受到以上研究工作的启发，本文研究二维空间时间分数阶色散方程的有限差分格式．由于分数阶问题的隐式差分格式在每一时间步都需要处理非稀疏线性系统，于是隐式差分格式是计算密集型的．通过把偏微分方程差分方法中经常用到的交替方向隐式差分格式推广到分数阶偏微分方程，从而克服了这一问题．收稿日期：2014-12．24；录用日期：2015-0

6、2-13；网络出版时间：2015-04-0209：47网络出版地址：WWW．cnki．net／kcms／detail／11．2625．V．20150402．0947．004．html基金项目：国家自然科学基金(61271010)；北京市自然科学基金(4152029)；北京航空航天大学博士研究生创新基金作者简介：张英晗(1986一)，男，河北邢台人，博士研究生，zhangyinghan007@126．com+通讯作者：杨小远(1964一)，女，江苏淮安人，教授，xiaoyuanyang@vip．163．eom，主要研究方向为分数阶随机偏微分方

7、程．引用格式：旅英晗，杨小远．二维空间时间分数阶色散方程的差分方法ⅣJ．北京航空航天大学学报，2015，41(12)：2296．2301．ZhangYH，YangXY．Differencemethodsfortwo-dimensionalspace·timefractionaldispersionequationfJJ．JournalofBeijingU-niversityofAeronauticsandAstronautics，2015，41(12)：2296-2301(inChinese)．第12期张英晗，等：二维空间时间分数阶色散方程

8、的差分方法22971问题描述考虑二维空间时间分数阶色散方程：盟嗓丝：d(x,y,t)矿M(Ⅵ，￡)+e(戈，Y，t)D，yM(石，Y，t)+／-(戈，Y，t)(1)式中：0