变分数阶扩散方程及其反问题

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1、分类号：enO175单位代码：10433密级：学号：14411070189山东理工大学硕士学位论文变分数阶扩散方程及其反问题TheVariable-OrderFractionalDiffusionEquationandInverseProblems研究生：刘迪指导教师：李功胜教授申请学位门类级别：理学硕士学科专业名称：数学研究方向：数学物理反问题论文完成日期：2016年4月20日万方数据独创性声明本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不

2、包含为获得山东理工大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。研究生签名：时间：年月日关于论文使用授权的说明本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)研究生签名：时间：年月日导师签名：时间：年月日万方数据山东理工大学硕士学位论文摘要摘要本文主要考虑三类变

3、分数阶扩散模型及其微分阶数反问题，分别是一维变时间分数阶扩散方程、一维变空间分数阶对流扩散方程，二维变空间分数阶扩散方程。文章从变分数阶导数的定义出发，对三种方程的差分格式进行了论述，并给予有效的数值模拟演算。由于实际问题中微分阶数是未知的，特别对于依赖时间/空间变量的微分阶数,更是难以通过实验手段直接测量获得，因而我们在正问题的基础上，开展了对此类方程中变微分阶数的数值反演研究。论文主要内容安排如下：第一章，介绍研究意义，并对国内外相关研究进行总结，给出本文的工作重点。第二章，介绍四种变分数阶导数的概念及其它们之间的关系。第三章，考虑一维变时间分数阶常系数扩散

4、方程。对于正问题求解，用Caputo变分数阶导数进行离散，基于系数谱半径的精细估计，给出差分格式稳定性和收敛性的证明。同时，引入同伦正则化算法对确定微分阶数的反问题进行数值反演模拟。第四章，考虑一维变空间分数阶对流扩散方程。对于正问题，应用改进的Grunwald-Letnikov分数阶导数定义进行离散，得到隐式差分格式，关于格式的稳定性和收敛性我们用简便方法给出证明，并给出数值算例。在正问题计算的基础上，应用同伦正则化算法给出确定随时间/空间变化的微分阶数的数值反演问题。第五章，考虑二维变空间分数阶扩散方程问题。应用改进的Grunwald-Letnikov分数阶

5、导数定义离散方程得到Euler交替差分格式。进而研究确定变微分阶数的数值反演，讨论不同参数取值对反演算法的影响。第六章对本文工作进行总结，指出研究不足及进一步的研究方向。关键词：一维变时间/空间分数阶扩散方程；二维变空间分数阶扩散方程；反问题；变分数阶导数；同伦正则化算法；交替差分法；稳定性与收敛性；数值反演I万方数据山东理工大学硕士学位论文AbstractAbstractInthisdissertationwediscussthreekindsofforwardproblemsandinversionproblemsforthevariablefraction

6、alordersinthetimevariablefractionalorderdispersionequation,thevariable-orderfractionaladvection-diffusionequationwithanonlinearsourceonafinitedomainandthetwo-dimensionalvariable-orderfractionalpercolationequation,respectively.Finitedifferenceschemeisestablishedforeachforwardproblem,a

7、ndthestabilityandconvergenceareproved.Basedonthenumericalsolution,thehomotopyregularizationalgorithmisappliedtodeterminethevariablefractionalordersunderdifferentconditions.Themaincontentsaregivenasfollows:Chapter1,introducesthebackgroundandmotivationofthisthesisaswellastheresearchtre

8、nds,andthema