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1、一个时间分数阶扩散方程源强识别反问题摘要：对于一类带有多个点源的分数阶维扩散方程问题，应用有限差分法给出了一个数值求解格式，并在已知点源个数及其位置的前提下，应用最佳摄动量正则化算法对源强进行了数值反演，并讨论了扰动数据和微分阶数的不同选取对反演算法的影响.关键词：分数阶扩散方程多点源最佳摄动量正则化算法整数阶扩散方程是根据质量守恒定律和费克梯度扩散定律得出的，但是实际情况下许多扩散现象并不满足经典的费克梯度扩散定律，通常称之为“反常”扩散•分数阶导数与反常扩散过程本质上有一定的相似性，所以分数阶扩散方程应运而生，其研究已受到人们越来越多
2、的关注•对于分数阶微分方程的求解，由于解析解一般都含有特殊函数或者复杂级数的形式，计算起来比较困难，因此越来越多的研究者讨论分数阶微分方程的数值解，而对于分数阶扩散方程的源项反演问题却少有研究•本文研究多点源分数阶对流-扩散方程的差分求解方法，进而应用最佳摄动量正则化算法对分数阶扩散方程中的多点源源强进行了数值反演.考虑一个带多个点源的时间分数阶对流扩散方程的源强反演问题:■—D・+v■二f(x,t)00；i二0,1,2,…，M；t■二nt,t>0,n=0,1,2,…，N,其中h和t分别是空间和时间步长，且Mh=L,Nt=T.在方程(1)
3、中采用如下有限差分近似：?鄆(X・，t・)=■■■?繫■■■+()(T)(4)=B{u(x・，t・)-u(x・，t・)+B[u(x・，tl)-u(x・，t・)]}[(k+1)B-kB]+0(t)■
4、■二■+()(h・)(5)■〔•■+0(h)(6)将式(4)—(6)代入方程(1),可得■{u(x・，t・)-u(x・，tH)+B[u(x・，t・)-u(x・，t・)]}[(k+1)■-kH]-DH+vl=fa(7)其中i=l,2,M-l,f■二・Q・6(ih-xB).设q=・，u■■是u(x・，t・)的数值近似，即得-pu■■+(l+2p-q
5、)u■■-(q~p)ull=u■(uHH-uHH)[(k+1)B-kB]+T■r(2-a)fl(8)u■■二0,u■■二0,u■■二g(xH)因此，可得隐式差分格式：当n二0时，-(q+p)u■■+(l+2p+q)uHH-puHl=u■■+t■『(2-a)f・(9)当n>0时，-(q+p)u・・+(l+2p+q)u・・-pu■■二(2-2・)u■■-■u・・[2(k+1)■-(k+2)■-k・]+u・・[(n+1)■-nB]+T■r(2-a)f・(10)2.最佳摄动量正则化算法最佳摄动量正则化算法是一种基于Tikhonov正则化、求解参数
6、反演问题的迭代方法•对于源强反问题(1)-(2),设污染源的位置已知，即x・，x・，…，x■为，需要反演相应的源强度…，Q・记R=[QH,QB,…，QI.],在R已知的前提下，借助上述求解正问题的方法，求出正问题(1)一(2)的解u(x,t；R),进而得到其在时刻t二T和x■处的值，记为u(x«,t；R).这样求解反演问题(1)—(2)的一种优化方法就是使得计算值与观测值在某种误差意义下最小，通常化为下述极小问题的求解mini
7、u(xB,T；R)-
8、l+PI
9、R
10、(11)其中u为正则参数•根据摄动算法，极小问题的求解又转化为对于给定的R・
11、，求解最佳摄动量6RB,进而由下式确定出R■的一种迭代算法R■二R・+6R・，n=0,1,2,・・・(12)其中，■是下述泛函的极小解F(6RB)=u(xH,T；RI+SRI)5RH
12、
13、H■(13)将u(1,RB+6RB)在R■处作泰勒展开,高阶项，近似可得F(8RB)=
14、
15、u(xB,T；R・)-■■+?甥(1,t・；R・)•5RH
16、!■■+!!
17、
18、5RI
19、!■■・对t进行离散0=x・Pl+GBG5RB=GB()，(14)其中G=(g・)■,gB=B;2=(u(x・,T；R),u(x・,T；R),…，u(x・,T；R))■；n=(■■,…
20、，■■)■,v称为数值微分步长.以下给出反演R的算法步骤：步骤1.给定初始猜测向量R■和数值微分步长Y,求向量T],E及矩阵G；步骤2•按照通常的最佳摄动量算法进行计算，由下式求出SRH5RB=(aI+G・G)(口-E);(15)步骤3.对于给定的精度eps,判断是否满足
21、
22、8RB
23、
24、^eps.若是，则R■即为所求，算法终止；否则，由(12)式得到RH,再转到步骤1继续进行.3.数值模拟问题(1)—(2)中，取初始函数取为g(x)=10x,取M二100,N二100,扩散系数D二0.001,v二0,q二4,Q■二1,Q■二3,Q■二5，Q■
25、二7,x■二0.3,x■二0.7,x■二0.8，x■二0.9,即源强真值为R=(1,3,5,7)•设微分阶数a=0.8.其中5表示扰动水平，反演误差用Err=
26、
27、RB-R
28、I■表示，n表示迭代
