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1、概率论与数理统计第十三讲北京工业大学应用数理学院§4.3协方差与相关系数对于二维随机向量(X,Y)，除了其分量X和Y的期望与方差之外,还有一些数字特征,用以刻画X与Y之间的相关程度，其中最主要的就是下面要讨论的协方差和相关系数。定义1：若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在，则称其为X与Y的协方差，记为Cov(X,Y),即4.3.1协方差Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}.(1)(3).Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)；(1).Cov(X,Y)=Co
2、v(Y,X)；协方差性质(2).设a,b,c,d是常数，则Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y)；(4).Cov(X,Y)=E(XY)-[E(X)][E(Y)]，(5).Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y).当X和Y相互独立时，Cov(X,Y)=0；若X1,X2,…,Xn两两独立，则性质(5)可推广到n个随机变量的情形：协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系，但它还受X和Y本身度量单位的影响。例如：Cov(aX,bY)=abCov(X,Y).为了克服这一缺点，
3、对协方差进行标准化，这就引入了相关系数。4.3.2相关系数为随机变量X和Y的相关系数。定义2:设Var(X)>0,Var(Y)>0,则称在不致引起混淆时，记为。相关系数性质证：由方差与协方差关系，对任意实数b,有0≤Var(Y-bX)=b2Var(X)+Var(Y)-2bCov(X,Y),令则有Var(Y-bX)=由方差Var(Y)>0,知1-ρ2≥0,所以
4、ρ
5、≤1。由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)=0.请看下例：(2).X和Y独立时,ρ=0，但其逆不真；但ρ=0并不一定能推出X和Y独立。所以，证明:例
6、1：设(X,Y)服从单位D={(x,y):x2+y2≤1}上的均匀分布，证明：XY=0。所以，Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.同样，得E(Y)=0,此外，Var(X)>0,Var(Y)>0.所以，XY=0，即X与Y不相关。但是，在例3.6.2已计算过:X与Y不独立。存在常数a,b(b≠0)，使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1线性相关。(3).
7、ρ
8、=1但对下述情形，独立与不相关是一回事：前面,我们已经看到：若X与Y独立，则X与Y不相关；但由X与Y不相关，不一定能推出X与Y独立。
9、若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是X与Y不相关。定义1：设X是随机变量,若E(Xk)存在(k=1,2,…),则称其为X的k阶原点矩；若E{[X-E(X)]k}存在(k=1,2,…),则称其为X的k阶中心矩。§4.3矩与协方差矩阵4.4.1矩易知：X的期望E(X)是X的一阶原点矩，方差Var(X)是X的二阶中心矩。定义2：设X和Y是随机变量,若E(XkYm)存在(k,m=1,2,…),则称其为X与Y的k+m阶混合原点矩；若E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]m}存在(k,m=1,2,…
10、，则称其为X与Y的k+m阶混合中心矩。4.4.2协方差矩阵将随机向量(X1,X2)的四个二阶中心矩排成一个2×2矩阵，则称此矩阵为(X1,X2)的方差与协方差矩阵，简称协方差阵。类似地，我们也可定义n维随机向量(X1,X2,…,Xn)的协方差阵：若随机向量的所有的二阶中心矩为(X1,X2,…,Xn)的协方差阵。存在，则称矩阵f(x1,x2,…,xn)则称X服从n元正态分布。其中C是(X1,X2,…,Xn)的协方差阵，
11、C
12、是C的行列式，表示C的逆矩阵，X和是n维列向量，表示X的转置。设=(X1,X2,…,Xn
13、)是一个n维随机向量,若其概率密度n元正态分布的几条重要性质：(1).X=(X1,X2,…,Xn)'服从n元正态分布对一切不全为0的实数a1,a2,…,an，a1X1+a2X2+…+anXn服从正态分布。(2).若X=(X1,X2,…,Xn)'服从n元正态分布，Y1,Y2,…,Yk是Xj(j=1,2,…,n)的线性组合,则(Y1,Y2,…,Yk)'服从k元正态分布。这一性质称为正态变量的线性变换不变性。(3).设(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布，则“X1,X2,…,Xn两两不相关”。“X1,X2,…,
14、Xn相互独立”等价于例2:设随机变量X和Y相互独立，且X~N(1,2),Y~N(0,1)。求Z=2X-Y+3的概率密度。知Z=2X-Y+3服从正态分布，且解:由X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X与Y相互独立,Var(Z)=4Var(X)+Var(Y)=8+1=9,E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2-0+3=5，故，Z~N(5,32).Z的概率密度为小结本讲首先介绍二维随机向量(X,Y)的分
