概率论与数理统计第13讲

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1、第五节　两个随机变量的函数的分布一、问题的引入二、离散型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布四、极值的分布五、小结为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是设随机变量X与Y相互独立,且其分布密度分别为其它.其它.求随机变量Z=2X+Y的分布密度.由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的分布密度函数为解例7随机变量Z的分布函数为所以随机变量Z的分布密度为注:先求出Z=g(X,Y)的值域[c,d

2、],则四、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是即有FN(z)=1-[

3、1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)故有推广Example8SupposeXandYbetwoindependentwithpdf’sFind,whereSincethecdfforisThenwehaveIfthentherefore五、小结1.离散型随机变量函数的分布律2.连续型随机变量函数的分布难点：确定积分区域。若随机变量（X,Y)的概率密度为f(x,y)，则(3)Z=X－Y的概率密度为（4）Z=kx+Y,(k>0)的概率密度为

4、（5）Z=XY的概率密度为所用的方法:分布函数法.一、主要内容二、重点与难点三、典型例题第三章　随机变量及其分布习题课一、主要内容多维随机变量多维离散型随机变量多维连续型随机变量联合分布函数联合分布律联合密度函数均匀分布二维正态分布条件分布随机变量的函数的分布定义边缘分布变量的独立性二、重点与难点1.重点二维离散与连续型随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布离散型与连续型随机变量的独立性条件2.难点二维连续型随机变量的函数的概率密度的求法二维随机变量函数的分布例1：设二维随机变量(X,Y)的密度函数为则X与Y中至少有一个大于0.5

5、的概率为_____.解：三、典型例题在处的值为_______.例2.设二维随机变量(X,Y)在区域D上服从均则其边缘密度函数匀分布,及直线其中D是由曲线所围成,从而X的边缘密度函数为因此联合密度函数为面积2解：例3设X、Y相互独立,且均服从正态分布分析:由题设,即a-b=1,故应选(2).()例4设二维随机变量(X,Y)~N(0,0,1,1,0),则解:由二维正态分布的性质可知:X~N(0,1),Y~N(0,1),且X与Y相互独立.故:例5设X、Y相互独立,其中而Y服从参数为1的指数分布,则P{X-Y>0}=分析:解:例6、设二维

6、随机变量(X,Y)的概率密度为求：(1)(X,Y)的边缘概率密度(2)Z=2X-Y的概率密度(3)求：(1)(X,Y)的边缘概率密度(1)由题设条件可知，解：求：(2)Z=2X-Y的概率密度(2)设随机变量Z的分布函数为因此密度函数为于是分布函数为求：(3)例7:设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C为常数.确定A,B,C；求X和Y的边缘分布函数；求P(X>2)确定A,B,C；解：(1)(2)求X和Y的边缘分布函数；(2)(3)求P(X>2)(3)例8:填空题。已知X,Y独立，联合分布律与边缘分布律如下例9:已知X,Y

7、的分布律如下求：（1）X,Y的联合分布律；（2）X与Y是否独立。在矩形例.设二维随机变量上服从均匀分布，试求边长为的矩形面积的概率密度解：故联合密度函数为由题设知二维随机变量在均匀分布，并设其分布函数为又已知上服从矩形则当由此可得分布函数为因此得密度函数为例.设A，B为二个随机事件，令则随机变量的联合分布列为______.且由题设条件知，由已知条件可得：可能取值于是为四组值。解：于是的联合分布列为例.设二维随机变量(X,Y)在矩形记上服从均匀分布，求U与V的联合分布.因此，解：故联合密度函数为服从均匀分布，已知二维随机变量在G上于

8、是(1)因此，联合分布列为