非线性schrodinger方程整体适定性的最佳条件

《非线性schrodinger方程整体适定性的最佳条件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、哈尔滨工程大学硕士学位论文第1章绪论1．1非线性SchrSdinger方程的研究背景近些年来，非线性Schrodinger方程受到了许多数学工作者的广泛关注．不仅因为它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，在非线性光学领域有着广泛的应用，而且因为有很多模型经简化后，都是一些确定的非线性Schr6dinger方程．可见Be唱e在文献【l】中及C．Sulem和P-L．Sulem在【2】中的论述．非线性SchrSdinger方程是量子力学的基本方程，它来源于量子场论(quantumfieldtheory)，特别是Hartree

2、—Fock理论．例如，可见Avron，Herbst与Simon在文献【3】，【4】，【5】，Bialinycki·Birula与Mycielski在文献【6】，【7]，Combes，Schrader与Seiler在文献【8】，Eboli与Marques在文献【9】，Gogny与Lions在文献【10]，Kato在文献【ll】，Lebowitz，Rose与Speer在文献[12】，Lieb与Simon在文献【13]，Reed与Simon在文献【14]，B．Simon在文献【15】及C．Sulem与P．L．Sulem在文献【

3、161．非线性SchrOdinger方程也是一个非常好的色散方程的模型，因为就技术上而言，非线性SchrSdinger方程比其它色散方程如波动方程或KdV方程更简单：从数学的角度来看，非线性Schrbdinger方程兼具抛物型方程与双曲型方程两者的性质．特别有用的方法是能量与Strichartz估计．关于非线性Sch哟dinger方程，已被很多数学工作者研究，并取得了丰硕的成果．不但关注局部解的问题(解的局部存在性，唯一性，正则性，光滑影响性)，而且研究了整体解的情况(有限时间内解的爆破，整体解存在性，解的长时间行为)．

4、描述的方法大量适用于半线性色散方程．总的来说，我们需要详尽的线性(及非线性)估计，并且大多数的整体解的结论是依赖于小的初始值．1985年Ginibre与Velo在文献【17】中研究了如下Schr6dinger方程i饥+Au=l训pu，37∈Q，t>0哈尔滨工程大学硕士学位论文的柯西问题，初值条件为u(o，z)=uo(x)，z∈Q，t>0作者证明了上述问题在啦空间中局部解与整体解的存在性．10anBejenaru与TerenceTao在文献[181中建立如下二次非线性SchriSdinger方程i饥+△u=U2其中u：RZ

5、R—C．作者研究获得了当8≥一l，上述问题在日8(R)空间中存在局部解．当8<一1时，解不存在．在此之前，C．Kenig在文献【19】中研究了如下一维二次非线性Schr6dinger方程i饥+△u=U2u(O)=，∈蠼(R)仳∈四蟛([o，明×R)证得了对于所有的8>一互3，上述问题在蟛(R)空间存在局部解，相比之下，当二次非线性项为Iulu时，则其在E(R)空间存在整体解【20】．RowanKillip与TerenceTao在文献【2l】中建立如下临界质量非线性Schr6dinger方程i饥+△钆=士lul2乱对于属于

6、对称球L：(R2)初值，作者建立了上述问题解的整体适定性与散射的相关结果．作者关心的问题为质量严格小于稳态解时解的情况，并推得了任意球对称爆破解至少聚缩到稳态解的质量．TerenceTao与MonicaVisan在文献【22】中研究了如下Schrtj_dinger方程i毗+Au=入1luI：u+入2Iul；u，z∈Q，t>02哈尔滨工程大学硕士学位论文的Cauchy问题，初值条件为u(o，z)=咖(z)’，z∈Q，t>0其中乱(亡，z)是空间Rt×R2中的复值波函数，n≥3，初始值／dO属于琊(或∑)．入1，A2是非零的

7、实常数，并且00的初边值问题，初值条件为u(o，z)=uo(x)，z∈Q，t>0其中Ⅱ(z，t)是复值波函数，入∈R并且△为兄Ⅳ上的Laplace算子．关于上述问题，对于Q等于Rn的情况，已被很多数学工作者研究，对于Q≠Ⅱp，除了Brezis和Gallouet在文

8、献【24】中表明上述问题存在唯一整体强解，还没有得到其它任何结论．WangBaoxiang在文献【23】中证明了Brezis和Gallouet对上述问题存在唯一整体强解的结论．王明新在文献【25】中研究了如下Schrtjdinger方程蕾仇+Au+，(让)=0，z∈Q，t>0u(o，z)=uo(x)，z∈Q，t>0其