五阶Korteweg-de Vries-Burgers方程的整体适定性-论文.pdf

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1、第35卷第1期吉首大学学报(自然科学版)Vol.35No.12014年1月JournalofJishouUniversity(NaturalScienceEdition)Jan.2014文章编号:10072985(2014)01001505∗五阶Korteweg-deVries-Burgers方程的整体适定性刘玉欢(华北电力大学数理学院,北京102206)摘要:研究五阶Korteweg-deVries-Burgers方程(u2α2),u(0)=)的柯西问题,这里t+uxxxxx+

2、■x

3、u+(ux=0φs(s>s)的整0<α≤2,并且u是实值的函数.利用Bourgain空间

4、理论和[k;Z]乘子的方法证明了五阶KdV-B方程在Hα体适定性,这里sα=-7/4(0<α≤3/2),sα=-1-α/2(3/2<α≤2).关键词:五阶KdV-B方程;局部适定性;整体适定性中图分类号:O175.29文献标志码:ADOI:10.3969/j.issn.10072985.2014.01.005研究五阶KdV-B方程2α2)(0)=(1)ut+uxxxxx+■xu+(ux=0uϕ的柯西问题.这里:0<α≤2;u是实值的函数;(x,t)∈R×R+.该方程研究的物理背景是:当耗散效应发生时,弱非线性色散长波在某些物理介质中的传播.类似的问题有,经典的KdV方程2)

5、,(2)ut+uxxx+(ux=0三阶KdV-B方程2α2),(3)ut+uxxx+■xu+(ux=0和五阶KdV方程2)(4)ut+uxxxxx+(ux=0.这些方程的适定性已有学者进行了深入的研究.对于方程(2),文献[1]中用Bourgain空间理论,证明了它在Hs(s>-3/4)的局部适定性,关于它的整体适定性可参看文献[2].对于方程(3),文献[3]中用s(s>s)的整体Bourgain空间理论,文献[4]中用Bourgain空间理论和[k;Z]乘子方法,证明了它在Hα适定性问题,这里sα=-3/4(0<α≤1/2),sα=3/(2α-5)(1/2<α≤1).对

6、于方程(4),文献[5]中用s(s>-7/4)的整体适定性.对于现要研究的问题Bourgain空间理论和[k;Z]乘子方法得到了它在H(1),也能用类似的方法来证明,因此可得到如下结论:定理1若0<α≤2,ϕ∈Hs(R),s>s,这里s/4(0<α≤3/2),s/2(3/2<ααα=-7α=-1-αs(R))∩X1/2,s,α中存在唯一的解u,并且u∈C((0,≤2),则对于∀T>0,方程(1)在ZT=C([0,T],HT¥+¥),H(R)).现在的困难在于方程(1)的导数阶数高,色散关系代数结构复杂,这在研究中会带来一定的麻烦.1概念和定义所谓适定性问题,就是要求一个偏微

7、分方程的定解问题必须满足下列条件:它的解存在;它的解唯一;它的解稳定,即它的解连续地依赖定解条件和定解问题中的已知函数.对于∀x,y∈R,x~y⇔∃c1,c2∗收稿日期:20130601基金项目:中央高校科研业务费资助(12MS79)作者简介:刘玉欢(1989),女,河北邯郸人,华北电力大学数理学院硕士研究生,主要从事偏微分方程研究.16吉首大学学报(自然科学版)第35卷>0,c1

8、x

9、≤

10、y

11、≤c2

12、x

13、.用^f或F(f)来表示f关于空间和时间变量的傅里叶变换,定义为^-ixξ-itτf(ξ,τ)=eef(x,t)dxdt.∫2R用Fx来表示f关于空间变量的傅里叶变换,为

14、了简单方便,仍用F来表示f关于空间变量的傅里叶变换.Z和N分别用来表示整数集和自然数集.对于∀k∈Z+=N∪{0},记k-1,2k+1]}k≥1,I{:

15、}.Ik={ξ:

16、ξ

17、∈[20=ξξ

18、≤2令η0:R→[0,1]是在[-8/5,8/5]上的一个光滑函数且在[-5/4,5/4]上为1.对于∀k∈N,令ηk(ξ)=(2-k)-(2-k+1),对于∀k∈Z,令()=(2-k)-(2-k+1).一般而言,{}是齐次的二进η0ξη0ξχkξη0ξη0ξχkk∈Z制分解函数序列,{η}是非齐次的二进制分解函数序列.经典的KdV方程(2)所使用的空间Xb,s是标kk∈Z+[1]准的

19、Bourgain空间.为了研究方程(1)的适定性,文献[3]中引进了Bourgain空间的变形空间,该空间的范数记为52αbs‖u‖Xb,s,α=‖

20、ξ

21、><ξ〉^u‖L2(R2),12这里的<·>=(1+

22、·

23、)2.2五阶KdV-B方程的局部适定性和整体适定性这一节中,主要对五阶KdV-B方程的积分形式tα(t)α(t-τ)■(u2)(τ)dτ(5)u(t)=Wϕ-∫Wx0进行估计,这里用与方程(1)有关的半群来定义Wα:F(Wα(t))()=exp(-i52α^(),∀txϕξξt-

24、ξ

25、

26、t

27、