关于李代数中几个结论的详细证明

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1、关于李代数中几个结论的详细证明摘要：本文较为详细的证明了李代数中的三个结论。关键词：根系素根正根反射美国数学家J.E.汉弗莱斯（J.E.Humphreys）的《李代数及其表示理论导引》是一本经典的李代数教材。此书中作者用最新的成果处理了李代数的经典理论（包括半单纯李代数的分类定理，同构定理与存在定理）；用初等的李代数方法证明了嘉当（Cartan）子代数的共辄定理；用公理化的方法处理了根系和权的理论。作者在书中着重介绍了半单纯李代数的表示理论。本文较为详细的证明了该书中的三个没有给出详细证明的结论，整理如下：定理1每一个①+都可以写成

2、al+a2+...+ak（aiGA,并且不必各不相同）的形式，使得每一个部分和a1+a2+...+ai是一个根。定理2令则oa（8）=8-a对所有的aW△成立。定理3若o=olo2...ot是把oWW表示成与素根相对应的反射的表达式，并使得t最小，则本文中①表示欧式空间E内的秩1的根系，具有Weyl群Wo①+表示正根集，①的子集△是基，△是素根组成的集合。下面给出证明中要用到的定义及引理。定义1欧式空间E内的一个子集①，如果满足以下公理，就被称为E内的一个根系：（R1）①是有限的，它张成E,且不含0.（R2）若ae0,则a在①内的仅

3、有的倍数是土a。（R3）若aW①，则反射oa（oa是可逆线性变换,oa（B）=B-a,（,）表内积）使①不变。（R4）若a,B丘①则二定义2设①是E内的根系。称1=dimE为根系①的秩。用W表示由反射oa（aW①）所生成的GL（E）的子群。由（R3）,W把集合①作了一个置换。由（R1）,①是有限的，且张成E,这就允许我们把W等同于①上对称群的一个子群，从而W是有限的。W被称为①的Weyl群。定义3①的一个子集△若满足以下条件，则被称为基:（B1）△是E的基，（B2）每个根B可写成并且具有全正或全负的整系数kao定义4△内的根称为素根

4、。据（Bl）,CardA=l,且（B2）中的B的表示式是唯一的。这使得我们能定义根（关于△的）高为若所有的ka$0（或所有的kaW0）,就称B为正根（或负根）。且记为d（关于△的）正根与负根的集合通常记为①+或①-（-C*+=o-显然），素根是正根，因为素根a=a,系数为1,全正，aGAo引理1若a是正根但不是素根，则有某个BeA,使a-3是一个根（必定是正根）。引理2设a是素根，则oa把异于a的正根作一置换。以下给出三个定理的详细证明。定理1的证明：由于B是正根但不是素根，根据引理1,存在某个aGA,使B-a是一个正根。又由基定义

5、中（B2）有（ai£A并且不必各不相同）。这样有（aieA这里ai不必各不相同），即定理前面部分是成立的。下面证明定理后面部分，即每一个部分和al+a2+...+ai是一个根。对htB施行归纳法来证明：htB=l时，B二al是一个根命题成立。假如对所有htB

6、..+as,由基定义中（B2）,B的表达式是唯一的（因为ka全为正或全为负，故不存在加一项再减一项与原来相等的不同表达式）。移项后得到即是说由唯一性可知，ai是al,a2,ak中的一个，故显然ht(B-ai)

7、其中a是素根并且是正根，再得到证毕。定理3的证明：oo1o2...ot,由t的最小性导致ol,。2,ot各不相同(因为反射如果有两个相同，则oi2(at)二at)。反射oa是可逆线性变换，由oa(B)二a得到oa(a)=-a,这样可以得到又因为at是素根并且是正根，由引理2,可以得到-oa1oa2...o其中为正根，。即是说为负根，也即，证毕。参考文献：[1]孟道骥.复半单李代数引论[M].北京大学出版社，1998.[2]苏育才等•有限维半单李代数简明教程[M].科学出版社，200&[31J.E汉弗莱斯•李代数及其表示理论导引•上海

8、科技出版社，1981.