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《浅谈近世代数中与素数有关的结论》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、淮阴师范学院毕业论文(设计)摘要：本文给出了近世代数中与素数有关的概念,结论及若干应用.关键词：素数，群，环，域14淮阴师范学院毕业论文(设计)Abstract:Inthisarticle,wegivesomedefinitions,conclusionsandapplicationsaboutprimenumbersinAbstractAlgebra.Keywords:primenumber，group，loop，domain14淮阴师范学院毕业论文(设计)目录1引言……………………………………………………………42在群中有关素数的结论……………………………
2、………43在环中有关素数的结论……………………………………64在域中有关素数的结论………………………………………9结论………………………………………………………………12参考文献…………………………………………………………13致谢………………………………………………………………1414淮阴师范学院毕业论文(设计)1引言素数在研究近世代数的过程中占有一个很重要的地位，本文介绍了近世代数中有关素数的一些基本性质，并探讨了一些常见结论.本文主要是从近世代数中群，环，域三个方面而谈.2群下面给出群中的一些重要定理及推论：定理1设是有限群，，为素数，，，则(i)(存在定
3、理)中有子群，且（这里的闭区间记号表示整数范围）有阶子群,(ii)(包含定理)每一个子群被包含在一个子群之中,(iii)(共轭定理)中任何两个子群互相共轭,(iv)(计数定理)中子群的个数记作，且有和，其中为任一子群，为的正规化子.推论1素数阶的群都是循环群.下面的例子是以上定理推论的应用或推广：例1设和是两个素数，证明:任一阶群都不是单群.(如果只有平凡的正规子群，且)，则称为单群.)证明若阶群是阿贝尔群，从而它有阶子群.因为阿贝尔群的子群都是正规的,所以不是单群.若，不妨设，而，只能.故只有一个子群，它是正规子群.所以不是单群.综上所述，命题得证.例2设是
4、一个阶大于1的群，证明：只有平凡子群为素数阶循环群.证明(必要性)设（是素数），.由拉格朗日定理得.所以14淮阴师范学院毕业论文(设计),即,故群只有平凡子群.（充分性）因为，所以存在.设,但是由于假设可得.(1)当时，是的平凡子群，与假设矛盾.(2)当是合数时，即,则.从而是的平凡子群，与假设矛盾.故是素数，即是素数阶循环群.例3设是两个不同的素数，是交换群，且.证明:是循环群.证明设，则，且.若，则.若，因为是素数，所以可设，于是.令，则且.于是.当时，可得.14淮阴师范学院毕业论文(设计)当时，因为是交换群，是两个不同的素数，所以,因此.综上所述，是循环
5、群.例4设是素数，阶为的群称为-群.证明:-群一定有一个阶子群.证明设群,,.(1)当时，可得.(2)当时，可令从而，所以.故-群一定含有阶子群.2环环是具有两种代数运算的代数系，它也是近世代数中一个重要的分支，这里给出有关环的一些基本概念.定义1一个有单位元，无零因子的交换环称为整环.定义2设是交换环，是的一个理想.若对或则称是的素理想.定义3设是环的一个真理想，若对于的理想，,则称是的极大理想.下面给出环中有关素数的一些结论及例题：结论1设是素数，则是整数环的素理想.结论2设是素数，则是整数环的极大理想.14淮阴师范学院毕业论文(设计)例5设是偶数环，是素
6、数，问是不是极大理想，是不是素理想?解设是的理想，且,由于没有单位元,所以.因为,于是存在，且是偶数，从而与的最大公约元为，则存在,使得.由于,所以，因此，故是极大理想.(1)当时，取,于是，但由于
7、，，即.又因为.所以当时，不是素理想.(2)当时，若，从而.因为都是偶数，于是设.故.又因为与的最大公约元为.所以由，即.因此.14淮阴师范学院毕业论文(设计)所以当时，是素理想.例6设是素数,则是整数环的极大理想.证明首先,从而.又设有的理想，使,则存在.因为,所以.又由于是素数，从而，即.因为所以.从而.因此是整数环的极大理想.例7是大于的素数，，则在中有解的
8、充要条件是，并由此证明当是形如的素数时，不是中的元素.证明（充分性）因为有解，所以存在使得.从而.（必要性）当时，下面分两种情况讨论：(1)当时，有.故是的一个解.(2)当时，是循环群，任取一生成元，有.可设，由得.因为，所以.故.令，得14淮阴师范学院毕业论文(设计).所以有解.取，当时，成立.所以方程有解.即有使又因为.所以.又因为和.故不是素元.3域域是一种特殊的环，所有有关环的性质都适合域，而且有些性质更为简单.下面给出域中有关素数的定理，并围绕定理展开对域中素数的讨论.定理2整环的特征是或者是一素数.定理3设是域，是的素域，则.定理4是域的充要条件是
9、为素数.定理5艾森斯坦因判别法设，如果
