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1、近世代数中与素数相关的性质与应用Thepropertiesandapplicationsofprimesinmodernalgebra专业:数学与应用数学作者:###指导老师:########大学数学学院二○一三年五月######大学本科毕业论文摘要本文主要探究了素数在近世代数中的相关性质和应用.首先,我们根据素数的性质,讨论了素数和素元的关系,解决了整环中元的唯一分解问题,进一步探讨了素元在环和域中的因式分解定理,并给出了高等代数中的艾森斯坦定理的更一般的形式;其次,我们讨论了素数在阶中的应用;再次,归纳总结了素数在几类特殊群和子群中的应用;最后,我们讨论了素数在特殊环和域中的相关结论
2、.全文都附有相关例题,以便更好地解释和说明.关键词:素数;素元;因式分解;艾森斯坦定理;素理想;群和子群;环和域II####大学本科毕业论文AbstractThispaperattemptstomakeageneralinquirytotherelevantpropertiesandapplicationsofprimesinmodernalgebra.First,accordingtopropertiesofalgebra,wediscusstherelationshipbetweenprimeandprimeelement,solvetheonlyfactorizationprobl
3、eminintegraldomain,furtherexploretheprimeelement’sfactorizationtheoreminringanddomain,andgivethemoregeneralformofEisensteinTheoreminadvancedalgebra.Second,wediscussapplicationsofprimestoorder.Third,wesummarizeapplicationofprimesinsomekindofspecialgroupandsubgroup.Finally,wecometosomerelatedconclu
4、sionsofprimesinspecialringanddomain.Relevantexamplesareattachedtogivebetterexplanationanddemonstration.Keywords:primenumber;primeelement;factorization;Eisensteintheorem;primeideal;groupsandsub-groups;ringanddomainII####大学本科毕业论文目录摘要IABSTRACTII0引言11素数的性质与多项式的因式分解12素数在阶中的应用53素数在几类特殊的群和子群中的应用83.1素数在置
5、换群和交换群中的应用83.2素数在群中的应用103.3素数在子群中的应用114素数在特殊环和域中的相关结论134.1素数在剩余类环中的应用134.2素数在素理想与极大理想中的应用16参考文献18####大学本科毕业论文0引言素数本身有着简单的性质,却在其数学领域中有着广泛的应用.素数在近世代数中的应用也比较广泛,在文献[2,3]中,作者给出了素数的基本性质与素元以及多项式因式分解概念及相关定理.文献[2,4]讨论了素数在环和域中的相关结论和应用.文献[4]还讨论了素数在阶中的应用.素数在其阶的应用引申到一些特殊群和子群中,其应用特别广泛,这在文献[4-11]中都有涉及,特别是在子群中应用
6、相当广泛.而且文献[6]中对高等代数中的艾森斯坦定理给出了进一步的讨论和证明.在这篇文章中,我们将做进一步的探讨.1素数的性质与多项式的因式分解首先我们来简单的讨论一下素数的基本性质.根据定义,对于普通的素数来说,它既不能为零,也不能为,而且它并不是没有因子,它有因子和它本身,即素数只有平凡因子.依照素数的这些性质,我们在整环中下了这样的定义:设是整环的一个元,若既不是零元,也不是单位,且元只有平凡因子,则这样的元称为素元.现在我们来看看有关素元的相关结论：结论1在整环中,设为单位,为素元,则也是一个素元.结论2设为整环中中不为零的元,则元有真因子的充要条件是,和都不是单位.结论3整环中
7、一个不为零的元有真因子:,则也是的真因子.现在我们有了素元的定义以及相关的结论,那么素数与素元有着怎样的关系呢？事实上,整数环就是一个整环,素数就是这个整数环中的素元.这就是说素元在整环中的地位与素数在整数环中的地位是一样的.我们知道在整数环中,整数有因式分解定理,在整数环中任意一个不为0和的整数都可以唯一地分解成素数的乘积.那么,类似的我们可以这样猜想:在整环第18页,共18页####大学本科毕业论文中任意一个不为0和单位的元也可
