近世代数中的子环与理想的证明.doc

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1、近世代数中的子环的证明以及理想的证明1.证明：在环到环的一个同态满射之下,的一个子环的象是的一个子环。证明:为的一个子环,0,而=,故非空。对,,使得=,=由于是环的子环，故,=-===故是的一个子环。2.证明：在环到环的一个同态满射之下,的一个子环的逆象是的一个子环。证明:为的子环,,而=,0,故非空。对，,使得=,=,由于是环的子环，故=-===,故是的一个子环。3.证明：在环R到环的一个同态满射之下，R的一个理想A的象是的一个理想。证明:为R的理想,0,,而=,故非空。对,,,使得,,2由于A是环R的一个理想，故,，=-===,==故是环的一个理想。4.证明：在环R到环的一个同态满射

2、之下，的一个理想的逆象A是R的一个理想。证明:为环的理想,,而=φ(0),0A,故A非空。对于，，,使得,,由于是环的理想，故-，，。-=-===，==,，,故A是R的一个理想。2