近世代数部分定理证明

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1、定理5.1在群中左消去律和右消去律成立，即，如果，则必有；如果，则必有。定理5.2在群中，方程与有唯一解。定理5.3在群中单位元和逆元是唯一的。定理5.4在群中，，则有1.；2.。定理5.5设是群，，如果，则。定理5.6设是群，，如果，则，且互不相同。定理5.7设是群，，如果，则，其中表示的最大公约数，表示的最小公倍数。定理5.8设是群，，如果，，且，，则。定理5.9设是群，，则。定理5.10设是群，，则。定理5.11设是群，，，则，类似地有。定理5.12设，，则1.；2.。定理5.13(Lag

2、range定理)设是有限群，，则。定理5.14设是群，是的有限子群，则。定理5.15设是群，则下列事项等价：1.；2.，；3.,；4.,。证明：①1⇔3：假设N是不变子群，那么对于G的任何a来说，aN=Na，这样aNa-1=（aN）a-1=Naa-1=Naa-1=Ne=N假如对于G的任何a来说，aNa-1=N，那么Na=（aNa-1）a=aNa-1a=aNe=aN，所以N是不变子群，证完。②2⇔4：⇒：现任取c∈Na，则存在b∈a，使得c=aba-1,则c∈N,因此Na∈N.⇐:设任意a∈G,N

3、a⊆N,则任意b∈N，aba-1∈Na，因此，aba-1⊆N，综上任意a∈G，b∈N，有aba-1⊆N。③1⇔2：这个条件是必要的，是定理的直接结果，我们证明他也是充分的。假设这个条件成立，那么对于G的任何一个元a来说，(1)ana-1∈N，这样，因为a-1也是G的元，我们有a-1Na∈N，a（a-1Na）a-1∈aNa-1(2)N⊂aNa-1,由(1)和(2)因而由1⇔3，N是不变子群。定理5.16循环群的任一子群必是循环群。循环群必是交换群。定理5.17任意的一个轮换都可以写成若干个不相交的

4、对换的乘积。定理5.18在环中，0和1分别是零元和乘法单位元。对于中元素，有1.；2.，特别地，；3.，特别地，；定理5.19域是整环。定理5.20设是从到的群同态映射，则1.是群的正规子群；2.为单射当且仅当。定理5.21设是从到的群同态映射，则。定理5.22循环群要么与同构，要么与同构。定理5.23任意一个群都与一个置换群同构。定理5.24设是从到的环同态，和分别是和的零元，则1.；2.若，则；3.若为可逆元，则为的可逆元。定理5.25设是从到的环同态映射，则是的理想，且。