代数基本定理的证明方法研究

《代数基本定理的证明方法研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、w—1—刖目代数学基本定理在代数学屮古有十分重要的地位，而在整个数学界屮也起着基础作用。代数学基本定理有两种等价的陈述方式。第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项式P(Z)=“,,Z〃+...+6^2+%(n>1,#0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次复系数多项式p(Z)=anZn+67/?_1ZH_1+...+67,2+67。(M>1,在复数域内有Z7个根，重根按重数计算”。尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。数学家J.P赛尔曾经指出：代数基木定理的所有证明木质上都是拓扑的。美国

2、数学家JohnWillardMilnor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是儿何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。在复变函数论中，对代数基本定理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗W尔给出的，但其证明是不完整的。紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗闩的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。十九世纪七十年代，数学家乩^1<11111

3、?8］对于该定理给岀了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。如果将复数域理解为复平面，将p(z)=anzn+6z/r_1z/,_1+...+6/1z+6Z0(n>l,afl^0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基木定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种。近年来，诸多数学家又给出丫其它的证明方法，例如2003年翁东东［6］对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。他并没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明，而是采用了初等方

4、法证明了代数基木定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。本论文结合有关知识点，主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。第一章运用复变函数理论屮的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最人模原理、最小模原理、留数定理来证明代数学基本定理，并对这些证明方法进行说明、比较与总结。第二章主要介绍了翁东东的初等方法的证明。第三章介绍了Kuhn的两个构造性的证明方w—1—刖目代数学基本定理在代数学屮古有十分重要的地位，而在整个数学界屮也起着基础作用。代数学基本定理有两种等价的陈述方式。第一种陈述方式为：“任何一个一元n次复系数多项

5、式P(Z)=“,,Z〃+...+6^2+%(n>1,#0)在复数域内至少有一根”，它的第二种陈述方式为：“任何一个一元次复系数多项式p(Z)=anZn+67/?_1ZH_1+...+67,2+67。(M>1,在复数域内有Z7个根，重根按重数计算”。尽管这个定理被命名为代数基本定理，但，迄今为止，该定理尚无纯代数方法证明。数学家J.P赛尔曾经指出：代数基木定理的所有证明木质上都是拓扑的。美国数学家JohnWillardMilnor在数学名著《从微分观点看拓扑》中给了一个证明，是儿何直观的，但其中用到了和临界点测度有关的萨尔德定理。在复变函数论中，对代数基本定

6、理的证明是相当优美的，其中运用了很多经典的复变函数的理论成果。代数基本定理的第一个证明是由法国数学家达朗W尔给出的，但其证明是不完整的。紧接着，欧拉也给出了一个证明，但也有缺陷。严格来说，第一个完整的证明是数学家高斯给出的，他在分析了拉格朗闩的证明方法以后于1799年给出的，他是运用的纯解析的方法证明。而后，到高斯71岁时，共给出了四种证明方法。十九世纪七十年代，数学家乩^1<11111?8］对于该定理给岀了引人注目的构造性证明，这种方法的数学形象极好，并已实际用于复系数代数方程求根，堪称不动点算法的范例。如果将复数域理解为复平面，将p(z)=anzn+

7、6z/r_1z/,_1+...+6/1z+6Z0(n>l,afl^0)的根理解为它在复平面上的零点，那么就可以借助复变函数的理论去证明代数学基木定理。这种证明方法比较简洁，方法也有多种。近年来，诸多数学家又给出丫其它的证明方法，例如2003年翁东东［6］对代数基本定理进行了多种方法的分析，并给予了形象的证明。他并没有采用常用的刘维尔定理和儒歇原理运用复变函数的方法进行证明，而是采用了初等方法证明了代数基木定理，说明可不用复变函数理论中的有关概念和定理进行证明该定理。本论文结合有关知识点，主要目的是归纳总结代数基本定理几种代表性的证明方法。第一章运用复变函数

8、理论屮的柯西定理、刘维尔定理、儒歇定理、辐角原理、最人模原理、最小