资源描述：
《代数基本定理的八种证明方法.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、安徽广播电视大学学报!""!年第!期代数基本定理的八种证明方法潮兰萍（安徽广播电视大学安庆市分校，安徽安庆!.*""%）摘要：本文应用复变函数的知识，引进多项式的分析性质，从复变函数的解析性出发，分别利用指数函数的性质，最大模原理，最小模原理和复积分的有关定理中的柯西积分定理，平均值定理和残数定理对代数基本定理给出了八种证明方法。关键词：柯西积分定理；最大模原理；最小模原理；指数函数性质中图分类号：$%&文献标识码：’文章编号：%""()*"!%+!""!,"!)""#!)"-代数基本定理，一般高等代数的教材中都没有给2证法
2、二B不妨假定当#为实数时，"+#,是实出证明，这是因为它的纯代数方法的种种证明都很复数，否则可考虑"+#,·"+#,<其中"+#,的系数与杂。大多数复变函数论的教材中都是利用维尔定理"+#,的系数共轭。若"+#,无零点，特别在实直线上和儒歇定理来证明代数基本定理。如果引进多项式无零点。因此"+#,在实直线上不改变符号，于是的分析性质，证明就可简化。而一旦掌握复变函数理!"5"&""（!）论等，其证明就更显得简单了。本文就此做一点尝"（&!CDE"）!"5"试。但是&"（&!CDE"）代数基本定理：%5#任何!（!%）次代数方
3、程至少有一根。/&)%）.#,%#（�#设"+#,/$!!)%!#0$!)%#0⋯0$%#0$（"$!""，11A)%5#,&!/%）!#%）则&+1,在复平面’上至少存在一个零点。.##（�#令2+#,/#!)%,。显然2+#,是多项式且%利用复积分"+#0#2证法一$（反证）%##’，若"+#,""，则函数%2+#,""，当#""时；2+",/$!""<于是在’2（#）"(+#,)"+#,在’上解析。由柯西积分定理对任意正上解析，根据柯西积分定理有数*，积分!"5"34（#）&/"&5#/"+!*6+#+,*,+
4、%,"（&!CDE"）!*"（#）与（!）矛盾。另一方面，令-/789:;$.;<./"<%⋯?7&5#/>?7&5#,!"!.且+5+#6,+,789+5+#,;+),*(0@!*"（#）*(0@!*###’与（%）矛盾。收稿
5、日期：!""#—#!—"$作者简介：潮兰萍（%#&*)）女安徽安庆人。安庆电视大学讲师#!潮兰萍#代数基本定理的八种证明方法记!$!#"%&!"’选取!%足够小使当%**上的开集且（&%（81）)38（1其中&*表示*的边!*!%，%*"*(!时有界）。令’为B（8C）的一个连通分支，则&’,&+B+81,,。于是存在%6#’使57+%6,’57+%,5-%%#（$%#"）%)%&!"’*（"）’-&’。又7+%,在’内不为常数，故由最小模原理，（$%%）7+%,在’内至少存在一个零点。从证明中可以看出，对%C;%，集合B+
6、81,的每对每一个固定的!#+%’!%,记一个连通分支至少包含7+?,的一个零点。（$%#"）%&!"##(")"#［%，(!］’+",-$（$%%）上面的证明中用到*的拓扑概念———连通分支，下面的证明则不用此概念。由平均值定理2证法七$显然7+%,$,%，取定正数,95,%6，*(!##（"）则有67+%,6),（D）&（’"）"."$*(!%*(!由于所以&（’"）/01#（"）."$*’再由（"）知’+",(!%,;::7*&⋯&,;%7（%）$,:%*&:/01#+",’*’%"#2%’($3从而’+",/01#+
7、",$*’%%再由（*）知’+",145#+",$%’于是’+","##+",$*。由:,;:7*,;%.,:%*0&⋯&:%%此可知$+%,在*上必为常数$+%%,矛盾。2证法四3继（)）之后，考虑积分.,:%:（*0（,;:7*&⋯&EF%%?5*（$%）.%++,-.,$&(!#%/（%0,）（%0.）（其中,F#3,#<,:，#$%，*，⋯，:7*）。取正数/使当（其中,’.为任意给定的复数，%/#6%6$/包6%6!/时有围,’.）。由残数定理,;:7*,F%*&⋯&=%%:(*++,-.,$+$+.,7$+,,,
8、（8）.0,*:且,:·%9,(另一方面，从而在6%6$/上有*6.%6（+,，.）’&($1%2（%0,）（%0.）*:67+%,6!6,:66%6;,（G）(*/3·1（/0,）（/0.）由于7+%,在5%5’/上连续且不为常数，于是根据（D），（G），7+%,在5%6’/内部取得最小
