资源描述：
《高中数学教学论文关于分式和的几个结论的证明及应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、关于分式和的几个结论的证明及应用在国内外各级各类的数学竞赛中，经常出现一些与分式和有关的不等式的证明问题，本文总结了关于分式和的几个一般性结论，为了便于结论的证明，我们先将向量数量积的概念进行合理的推广：1．向量数量积概念的推广对于平面向量=（a,b）、=(c，d)，与的数量积是=︱︱︱︱cos=ac＋bd,为与的夹角，其范围是0≤≤。对于三维空间向量=（a,b,c）=(d,e,f).它们的数量积为=︱︱︱︱cos=ad＋be＋cf.，为与的夹角，其范围是0≤≤。︱︱、︱︱分别是向量与的模：︱︱=，︱︱=。向量数量积的概念可推广到n维欧几里得空间：设=（x,x,…，x）,=(y,y,…，y)。
2、与的夹角为 , 范围是0≤≤。定义与的数量积为=︱︱︱︱cos=xy+xy+…+xy.︱︱、︱︱分别是向量与的模：︱︱＝，︱︱＝，则＝cos，当与平行时，=R，若＞0，则与同向，=0。若＜0，则与反向，=。当⊥时，=0，此时=。2．向量数量积的应用在本文中，多处用到柯西（Cauchy）不等式，我们先用向量法证明此不等式：(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(ab＋ab＋…＋ab)证明：设=（a,a,…,a）,=(b,b,…,b),与的夹角为,范围是0≤≤。则＝ab＋ab＋…＋ab＝cos所以(ab＋ab＋…＋ab)＝(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)cos≤(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋
3、b)。下面我们用向量法来证明与分式和有关的几个结论。结论1 已知x,x,…,x是满足x＋x＋…＋x=A的非负实数，且k＞0，则 ++…+≤.。证明：设＝（，，…，），＝（，，…， ），且与的夹角为 （０≤≤）。则·＝＋＋…＋＝x＋x＋…＋x＝cos＝cos∵n(x＋x＋…＋x)＝(1＋1＋…＋1)(x＋x＋…＋x)≥(x＋x＋…＋x)，∴(x＋x＋…＋x)≥=,当且仅当x＝x＝…＝x（≥０）取等号，此时与同向，即＝０，cos=1.∴A≥cos＝∴＋＋…＋≤＝。例１ 已知正数x、y、z 满足x+y+z=1 ，试证明：＋＋≤。证明：∵n=3,A=1，k=1∴由结论１，＋＋≤＝。结论２ 已知x,x,
4、…,x是满足x＋x＋…＋x=A的非负实数，且k＞0，１－kx＞0(I=1,2,…,n),则＋＋…＋≥。证明：设＝（，，…，）， ＝(，，…，),且与的夹角为（０≤≤）。则·＝x＋x＋…＋x＝××cos＝××cos因为（x＋x＋…＋x）（1＋1＋…＋1）＝（x＋x＋…＋x）n≥（x＋x＋…＋x）所以（x＋x＋…＋x）≥=所以A≤××cos≤×，则有＋＋…＋≥＝。例2已知x,y,z是满足x＋y＋z＝1的正实数，证明：＋＋≥.。证明：∵n=3,A=1，k=1,∴由结论2, ＋＋≥＝.例3 已知非负实数a(i＝1,2,3,…,n)满足a＋a＋…＋a＝1,求＋＋…＋的最小值（第23届IMO试题）.。
5、解：原题可以转化为求＋＋…＋的最小值。因为＋＋…＋＝(＋＋…＋),又A=1，k=,所以由结论２，有 ＋＋…＋≥＝，从而＋＋…＋＝(＋＋…＋)≥＝。例4已知a＞0(i＝1,2,3,…,n)且满足a＋a＋…＋a＝S，证明：＋＋…＋≥。证明：原不等式可以转化为证明以下不等式：（１＋）＋（１＋）＋…＋（１＋）≥。即＋＋…＋≥－n＝.(此变式为1979年英国数学竞赛试题)因为＋＋…＋＝(＋＋…＋)，又A=Ｓ，k=,所以＋＋…＋≥＝，所以＋＋…＋＝(＋＋…＋)≥＝，则（１＋）＋（１＋）＋…＋（１＋）≥。即＋＋…＋≥．结论3已知x,x,…,x是满足x＋x＋…＋x=A的非负实数，且１＋kx＞0(i=1,2,…
6、,n),则＋＋…＋≥。证明：设＝（，…，），＝（，…，），且与的夹角为（０≤≤）。则·＝×＋…＋×＝x＋x＋…＋x＝××cos,即A≤，所以＋＋…＋≥。例5已知正数x、y、z 满足x+y+z=1 ，试证明：＋＋≥。证明：因为A=1,k=－1,n=3，所以由结论3有＋＋≥＝。结论4若非负实数x,x,…,x满足x＋x＋…＋x=A，且１－x＞0(i=1,2,…,n),则＋＋…＋≥。证明：设＝（，，…，），＝（，，…，），且与的夹角为（０≤≤）。则·＝＋…＋＝x＋…＋x＝××cos≤×∵x＋x＋…＋x≥＝,∴x＋x＋…＋x≤×∴≤×∴＋＋…＋≥＝。例6已知x,y,z是满足x＋y＋z＝1的非负实数，证明
7、：＋＋≥证明：因为A=1,k=－1,n=3，所以由结论4有＋＋≥＝。
