抽象函数的几个重要结论及其应用

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1、我们将没有给出函数具体解析式，但给出函数某些特性或相应条件的这类函数称为抽象函数。结论1：（一点对称）若函数y=f(x)，对任意，满足或，则函数y=f(x)的图象关于（a，0）中心对称。推论：若函数y=f(x)对任意满足条件，则函数y=f(x)的图象关于（，0）中心对称。结论2：（两点对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称（其中a≠b），则y=f(x)是周期函数，周期。证明：∵函数y=f(x)既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称。∴。∴y=f(x)为周期函数，周期。推论：函数y=f(x)是奇函数，其图象

2、关于点（a，0）对称（a≠0），则函数y=f(x)是T=2a的周期函数。结论3：（轴对称）若函数y=f(x)对任意满足或，则函数y=f(x)关于x=a对称。推论：函数y=f(x)对任意x满足条件，则函数y=f(x)的图象关于直线对称。结论4：（轴轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于直线x=a对称，又关于直线x=b对称（a≠b），则函数y=f(x)是T=2b－a的周期函数。证明：∵y=f(x)关于x=a和x=b对称∴∴T=2b－a是y=f(x)的周期结论5：（点轴对称）若函数y=f(x)的图象既关于点（a，0）对称，又关于直线x=b对称（其中a≠b）

3、，则函数y=f(x)是周期T=4b－a的周期函数。证明：∵函数y=f(x)关于点（a，0）对称，又关于x=b对称∴∴为y=f(x)的周期。特例1：若奇函数y=f(x)图象关于直线x=b（b≠0）对称，则函数y=f(x)是周期为T=4b的周期函数。特例2：若偶函数y=f(x)图象关于点（a，0）对称（a≠0），则函数y=f(x)是周期为T=4a的周期函数。例1设f(x)在上为奇函数，且，当时，，则f(7.5)等于（）A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.5解：∵f(x)是奇函数，且∴∴y=f(x)的图象关于直线x=1对称根据结论5的特例1知，函数y

4、=f(x)是以为周期的函数。∴，选B。例2已知函数为偶函数，为奇函数，，求f(2007)的值。解：∵为偶函数，其图象可由向右平移2个单位而得到∴关于x=－2对称为奇函数，其图象关于（0，0）对称，可由y=f(x)向左平移2个单位而得到∴y=f(x)关于（2，0）对称∴的周期函数∴练一练定义在R的函数f(x)满足，且函数为奇函数，给出下列命题：①函数f(x)的最小正周期是；②函数y=f(x)的图象关于对称；③函数y=f(x)的图象关于y轴对称。其中真命题是_____________。答案：②③二项式定理高考题型归类及求解刘荣显二项式定理有关知识是每年高

5、考必考内容之一。本文就近年来的高考试题中二项式定理题型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。一、求二项式展开式中指定项在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定r的值，进而求出指定的项。1.求常数项例1（2006年山东卷）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是（）A.－45iB.45iC.－45D.45解：第三项、第五项的系数分别为，由题意有整理得解得n=10设常数项为则有得r=8故常数项为，选D。2.求有理项例2已

6、知的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中所有的有理项。解：展开式的前三项的系数分别为则由题意可得即解得n=8（n=1舍去）于是若为有理项，则，且，所以r=0，4，8。故展开式中所有的有理项为3.求幂指数为整数的项例3（2006年湖北卷）在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项解：所以r=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，故选C。4.求系数最大的项例4已知的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项。解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有9项，故n=8又设第r+1项的系数

7、最大，则有解得又，所以r=2或r=3所以二项式的展开式中系数最大的项是二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。例5（2005年湖北卷）的展开式中整理后的常数项为________。解：对于二项式的展开式中要得到常数项需10－r=5，则r=5所以常数项为例6（2005年浙江卷）在展开式中，含的项的系数是（）A.74B.121C.－74D.－121解：的展开式中，含的项为，故选D。三、求展开式中某一项的二项式系数或系数此类问题

8、仍然是利用二项式的通项公式来加以求解，但在解题中要注意某一项的二项式系数与系数的区别。例7（2006年北京卷