抛物线的几个常见结论及其应用

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com抛物线的几个常见结论及其应用抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。结论一：若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：，。证明：因为焦点坐标为F(,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为：，由得:∴，。当AB⊥x轴时，直线AB方程为，则，，∴，同上也有：。例：已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。证明：设，，由抛物线的定义知：，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：。则：=（常数）结论二：（1）若AB是抛物线

2、的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。证明：（1）设，，设直线AB:由得:,∴，，∴第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com。易验证，结论对斜率不存在时也成立。（2）由（1）：AB为通径时，，的值最大，最小。例：已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为。解：由结论二，12=（其中α为直线AB的倾斜角），则，所以直线AB倾斜角为或。结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。（2）过抛物线焦点弦的

3、两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。由抛物线定义：，，∴，∴以AB为直径为圆与准线l相切OAMNPyxF（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BF

4、N=∠NFO，∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，B∴，∴∠PFM=∠FMP∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。结论四：若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com反之也成立。证明：设直线AB方程为:，由得，△>0，，∵AO⊥BO，∴⊥∴将，代入得，。∴直线AB恒过定点（0，1）。∴当且仅当k=0时，取最小值1。结论五：对

5、于抛物线，其参数方程为设抛物线上动点坐标为，为抛物线的顶点，显然，即的几何意义为过抛物线顶点的动弦的斜率．例　直线与抛物线相交于原点和点，为抛物线上一点，和垂直，且线段长为，求的值．解析：设点分别为，则，．的坐标分别为．．．练习：1.过抛物线的焦点作一直线交抛物线于两点，若线段与的长分别是，则=　　　【解析：化为标准方程，得，从而．取特殊情况，过焦点的弦垂直于对称轴，则为通径，即，从而，故】2.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于两点．点第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com在抛物线的

6、准线上，且轴．证明直线经过原点．【证明：抛物线焦点为．设直线的方程为，代入抛物线方程，得．若设，则．　　轴，且点在准线；　　又由，得，　　故，即直线经过原点．】3.已知抛物线的焦点是，准线方程是，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称轴方程．【解：设是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得．　　整理，得，此即为所求抛物线的方程．　　抛物线的对称轴应是过焦点且与准线垂直的直线，因此有对称轴方程．　设对称轴与准线的交点为，可求得，于是线段的中点就是抛物线的顶点，坐标是】备选1.抛物线的顶点坐标是，准线的方程是，试求该抛物线的焦点坐标和方程．　　解：依题意，抛

7、物线的对称轴方程为．　　设对称轴和准线的交点是，可以求得．设焦点为，则的中点是，故得焦点坐标为．　　再设是抛物线上的任一点，根据抛物线的定义得，化简整理得，即为所求抛物线的方程．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com例2已知为抛物线上两点，且，求线段中点的轨迹方程．解析：设，，据的几何意义，可得．设线段中点，则消去参数得点的轨迹方程为．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com