抽象函数重要结论.doc

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1、抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论一.概念:指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。2、复合函数的奇偶性（1）复合函数为偶函数，则＝而不是＝；复合函数为奇函数，则而不是。（2）两个特例：为偶函数，则；为奇函数，则（3）为偶（或奇）函数，等价于单层函数关于直线成轴对称（或关于点中心对称）。3、函数的对称性：（1）中心对称即点对称：①点②③④⑤（2）轴对称：对称轴方程为

2、：。①关于直线②函数关于直线成轴对称。③关于直线成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数图象本身的对称性（自身对称）若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、图象关于直线对称5推论1：的图象关于直线对称推论2、的图象关于直线对称2、的图象关于点对称推论1、的图象关于点对称推论2、的图象关于点对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数与图象关于Y轴对称2、奇函数与图象关于原点对称函数3、函数与图象关于X轴对称4、互为反函数与函数图象关于直线对称5、函数与图象关于直线对称推

3、论1:函数与图象关于直线对称推论2:函数与图象关于直线对称6、函数对称性的应用（1）若,即三、函数周期性的几个重要结论*1、的周期为*2、的周期为*3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为58、若*9、有两条对称轴和周期*10、有两个对称中心和周期*11、有一条对称轴和一个对称中心的四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型（一）.求函数值1.设是上的奇函数，当时，，则等于（）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.2．已知是定义在实数集上的函数，且，求的值.3.若是以2为周期的偶函数，当时，试比较、、的大小.（二）

4、求函数解析式4.设是定义在区间上且以2为周期的函数，对，用表示区间已知当时，求在上的解析式.5．设是定义在上以2为周期的周期函数，且是偶函数，在区间上，求时，的解析式.（三）判断函数奇偶性6.已知的周期为4，且等式对任意均成立，判断函数的奇偶性.（四）确定函数图象与轴交点的个数7.设函数对任意实数满足，判断函数5图象在区间上与轴至少有多少个交点.（五）在数列中的应用8.在数列中，，求数列的通项公式，并计算应用训练:1．设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（  ）。　　A．

5、偶函数，又是周期函数    B．偶函数，但不是周期函数　　C．奇函数，又是周期函数    D．奇函数，但不是周期函数2．设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)=（  ）。　　A．0.5        B．－0.5        C．1.5          D．－1.54．函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象（ ）。　　A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称6．f(x)是R上的奇函数

6、f(x)=－f(x+4)，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007)的值7．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值8．设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)=9．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当时，f(x)=－2x+1，则当时求f(x)的解析式10．已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=，f(999+x)=f(999－x)，试判断函数f(x)的奇偶性.11．已知f(

7、x)是定义在R上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当时，f(x)是减函数，求证当时f(x)为增函数12．f(x)满足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.13．已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)=f(4－x)，f(7+x)=f(7－x),f(0)=0，求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？515．f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。5