2011年广东高考数学试题(文科)

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广东省2011年数学高考试题解法研究（文科）二.填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（―）必做题（11〜13题）11.已知匕｝是递增等比数列，°2=24-色=4,则此数列的公比厂解答:-｛an｝是递增等比数列，・•・q>1.•・•°4=孑=2纟2,。3=a2Cl=2g.由a4-a3=4得：2q，_2q=4即q?-q-2=0,解得q=2或者q=-1（舍去）.q=Z12•设函数f(x)=x3cosx+1.若/(6f)=11,则f(-a)=解法一：依题意得f(a)=a3cosa+1=11,贝cosd二10.由(・°)=(-a)3cosa+1二-o'cosa+1=-10+1=-9故D==2・解法二：令g(x)=-X3cosx,贝!jg(・d)=・g(d).BP/(-a)-l=-[/(a)-l],故/(・d)=£13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间兀（单位：小时）与当天投篮命中率y之间的关系：时间X12345命中率y0.40.50.60.60.4 小李这5天的平均投篮命中率为；用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为・解答：x=3,y=0.5.工3-刃（必一刃b=——=0.01.£（旺-兀尸/=i^=^-^=0.5-0.01x3=0.47.y=hx-^a=0.01x6+0.47=0,53.（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）13.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程为|X=^COS^（0<^<^）y=sin&J2和A_4Z（reR）,它们的交点坐标为・y=tr解答：由EF//AB//CD,EF=-(AB+CD)得:5解答:将两参数方程转化为:—+/=l（y>0）^x=-y2（x>0）,联立求解，可54得：兀］=1,兀2=-5（舍去），代入Xj=1,可得）［=二^,『2=-竺^（舍55去）则交点坐标为14.（几何证明选讲选做题）如图4,在梯形ABCD中，ABHCD,AB=4,CD=2・E,F图4分别为AD,BC上点，且EF=3,EF//AB,则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 EF为梯形A3C/I勺中位线.那么梯形CDEF与梯形ABFE等高，设为仕S~x(3+4)/?7则小梯形ABFE_2c15*»梯形CDEF-X(2+3)/l三.解答题：本大题共6小题，满分80分•解答须写岀文字说明、证明过程和演算步骤.13.(本小题满分12分)已知函数/(x)=2sin(-x-—),xgR.36(1)求/(0)的值;(2)设cr,e10,-1,/(3^+-)=—,/(3^+2^r)=-,求sin(a+0)的值.22135解：(1)/(0)=2sin(--)=-2sin-=-l66(兀、r1(冗、兀3”+—-2sin--3©+—12丿人2丿6=2sin/—(30+2龙)——°=/(30+2龙)=2sin2cos0,/.sincr=—,cos0=°.135•••cosa=Jl-sii?asin0=Jl-cos?故sin(a+0)=sinacos0+cosasin0=—x—4-—x—=—1351356514.(本小题满分13分)在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分。用£表示编号为〃(斤=1,2,…,6) 的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号并12345成绩暫7076727072(1)求第6位同学的成绩毛，及这6位同学成绩的标准差界(2)从前5位同学中，随机地选取2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率。16解：⑴・・・"—&”=756心5・・・耳=6元一工Ji”=6x75-70-76-72-70-72=907?=1161兀厂无)2=丄(52+12+32+52+32+152)=496„=|6・•・5=7(2)解法一：(组合法)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法：{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下4种取法：{1,2},{2,3},{2,4},{2,5}2故所得概率为兰。解法二：(排列法)从5位同学中随机选取2位同学，按顺序抽取，则共有如下20种不同取法:{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}{2,1},{3,1},{4,1},{5,1),{3,2},{4,2},{5,2},{4,3},{5,3},{5,4}选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68,75)的取法共有如下8种取法： {1,2},{2,3},{2,4},{2,5}{2,1},{3,2},{4,2},{5,2}故所得概率为兰。5 解法三：(特殊解法)从前5人中随机抽取2人，可以依次抽取，即第一次抽取1个，第二次再抽取一个。第一次抽出的人的分数在(68,75)Z间的概率为纟故“第一次抽出的人的分数在(68,75)之间而第二次抽出的人的分数没在(68,75)之间”的概率为：=l545第一次抽出的人的分数没在(68,75)之间的概率为丄5故“第一次抽出的人的分数没在(68,75)之间而第二次抽出的人的分数在141(68,75)之间”的概率为:-x-=-545故所求概率为丄+丄=2O55513.(本小题满分13分)图5所示的几何体是将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A,4,B,F分别为劭，0^,De,D’f的中点，q,o：,o2,o：分别为cd，CD,de,"F的中点.(1)证明：O；,AO2,B四点共面；(2)设G为必'中点，延长40：到使得，证明：B0：丄平面H'B'G・D(本小题主要考查线线关系和线面关系等基础知识，考查空间想象、推理论证和抽象概括能力，以及化归与转化的数学思想方法)证明1(几何法):(1)解法1: DVA,“分别为0D,0D中点,：・0；NDOA・连接BO.,•・•肓线B02是由直线AO,平移得到,AO}UBO2・.・・abo..・・・O；,",O2,B四点共面.解法2：・・・4为0"中点，O：是C7X的中点,・•・A'O：丄平面C'CEE'・・・・b是De的中点，O）是DE的中点，■:.B02丄平面C'CEE'・・・・aQnbo2./.o[,4,o2,b四点共面.解法3：・・•彳为0/X中点，0：是C7X的中点，・•・Xo[丄C'D'・・・・3是妙£的屮点，Q是DE的屮点，・•・B02丄DE・•・•几何体是将直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的，・•・平面A'CTX口平面BDE,且CTXDDE.・•・40；0BO?・ ・・・0：,。2，B四点共面.(1)将Aq延长至H,使得=连接HO；,HB,HH',・•・由平移性质得O'O^UHB,EfEB'0；A0。=O；,・・・B0；DH0；・•?A'G=HfO{,H'H=W,ZO'HfH=ZGA'H'=-,12・•・GNH‘三O；H'H・・・・ZH0；H+ZGH虫現.・•・0；H丄H'G・・•・BO；丄H'G・・・・0：0,丄B'O,,O：O；丄0,讨论函数/(x)=lnx+a(l-a)x2一2(1-°)兀的单调性.解:/(%)的定义域是(0,+oo),八兀)=丄+2。(1-心一2(1-。)=加(1一°)兀2一2(1-小+1XX1)当a-,则/(%)=1>0,则/(兀)在(0,+oo)上单增;X2)当心1,解法一：当GH1,方程2tz(l-d)F一2(1—d)x+1=0的判另I」式△=12(a-1)(67--),i)OvaV-时,A>0,/'(%)=0有两解：西=丄_J(a-l)(3a-1)〉o,尢2=丄+如塑岂〉0la2g(1-g)la2g(1-g)••・0vxv召或兀>%时，f(x)>0,/(兀)在(O,xJ和(兀2，+°°)上单增；xi0,・・・/(兀)在(0,+oo)上单增；iii)当g>1时，△>(),/(x)=0有两解：%1————'〉0,吃———卜)<0(舍去),2a2a(l-a)〜2a2a(l-a):.00,/(x)在(0,西)上单增；当兀>兀］时*,/(%)<0,/(兀)在(西,+8)上单减.综上：当Ovav丄时，/⑴在(0,幼和(兀2，+呵上单增，/⑴在(知七)上单减;当^<671时，于(兀)在(0,x()±单增，/(兀)在(兀］,+呵上单减. 解法二：当0VGV1,由于f(x)=—F2a(1—ci)x—2(1—ci)=—［2a(l—a)(兀)〜+］,xx2a2aIBu(x)=2tz(l-a){x-—)2+―,u{x)开口向上，2a2a其对称轴是兀二丄>0,所以w(x)ITlin二况(丄)=—~-,2a2a2ai)当Ovav丄吋，w(x)min<0,w(x)=0有两个根:J丿西丄血一1)(3一I)〉。,"丄+如)(3一1)〉o,2a2d(l-d)2a2a(l-a).•.OVXVX］或兀>兀2时，0心)>0,则/(兀)>0,・•./(兀)在(0,兀］)和(兀2，+°°)上单增，西<兀<兀2时,W(X)<0,则/(X)<0,/•f(x)在(兀］,兀2)上单减；ii)当-0,即/(%)>0恒成立，所以/(劝在(0,+oo)上单增；iii)当q>1吋，/心)开口向下，w(x)nm>0,w(x)=0有两个根：-<0(舍去)，2a2a(-a)〜2a2d(l-a)・・.0v兀<西时,w(x)>0,则f(x)>0,/(兀)在(0,兀J上单增，兀>旺时,u(x)<0,则f(x)<0,/(x)在(州,+8)上单减.综上：当Ovav丄时，/(力在(0,西)和(吃,+00)上单增，/(劝在(為宀)上单减；当丄5。51时，/(兀)在(0,+oo)上单增；当a>l时,/(%)在(0叭)上单增,f(x)在(和+8)上单减. 13.(本小题满分14分)设力〉0,数列仏〃｝满足a、=b,afl=nba^(h>2)an-+〃_1(1)求数列｛%｝的通项公式；(2)证明：对于切正整数“2an0,矢口afl=——>0,%+斤-11二％+〃_1,£nban_.'n11n-——=—Ianbb%・令则人二;,anb当心时1一戻1一戻1一Z72++b1-方1-b--n-2丄w人)1A1人、+庆七+匸仏)+F+F'a-3111114=尹歹+歹+…+戸+戸T11111——I——H—-+Hbb2b3bn~xbn①当bHl时，A是等比数列三的前72项和 bn(b-Y)解法二【待定系数法之一】勺bbatl_{②当方=1时，An=n.bn(b-l)令An=—f则Clnb当心2时，・bb①当方幻时，设A+2二丄・（At+2），久是待定的常数.AA.=（--lU+-A.,,比较系数得（丄一1）2=丄，解得2=人11I1I11I11“-bIl_b丿bn-x[bl-b)bn~l(l-b)bn■a1「Z"Q_b)b"-bhh-)②当b=l时，&=A,i+l,可见数列｛A〃｝是首项为;，公差为1的等差数列，于是Afl=—+(〃一1)=1+(71-1)=n.h bn—1,1bn(b-)b=lbn-1,解法三【待定系数法之二】d“_]+〃_1n-{1+—nbnb则6=丄=丄axb・・・c〃=Uc〃|+丄nbnb•••仞C=(“—i)c；i+i①当b1时，设存在一个实数加使b(nCn+/??)=(/?-1)Cz;_!+/n,比较系数，可得吩占二(/7-1心+口是首项为右’公比为訥等比数列.•・nCn+1l-b/?(!-/?)7 -(让2)-bn•c二…i…b)n ••处哄巴（“屮）l-bn②当b=1时,nC”=(n—1)C“_]+1即｛nClt｝是首项为1,公差为1的等差数列nCn=l+(n—1)=/2,Cn=1解法四【累加法之一】由a{=h>0,知陽如jo,%+〃-11__1annba“_'n11n-—=—I—■—anbbaH-1令4严兰，则4=7,anb当心2时，九4+卜心，bb两边同乘以b"得：bnAn十'，移项得：bnAn-bf,-1An_｛=bn'1.・・・b”A〃=[(b/lAfl-A,-,)+(//,_,4-1-)+•••+(/^2A=//1+严+...+戾+方+1,・A1111I••A——I——H——+rH•fhb2b3hn｛+｝的前n项和，于是①当方工1时,②当方二1时,bn-・•・n,九是等比数列An=n-bnbn-Ib”(b_l)nbb-)_1,b$1hn-1,b= 解法五【累加法之二】由q=b>0,知陽一nba,x~x>0,%+比一1]二％+斤_1annban-ln11n-=1anbb%令azz=A,则A=ib再写一次,•:相减得:人114An=T+7*At-Mbb得：AI+i=7+7,A；>bbA“+i_A“=+(A”_A”_])・・••数列｛九+厂4｝是首项为£-人=右，公比为+的等比数列.于是/|"Th2l~b,人=人+（九-人）+（人-4）+・・・+（观-九—J1111=—I——rH1•bb2b3bn①当心1时，九是等比数列bH的前〃项和，于是1A=0〃一11bn(b-)1—bbn-bn-b"(b_l)bzl曾81,b= 解法六【数学归纳法】由尙=b,可计算得:2b24b4/94戾+/?2+b+l猜想:nb“/严+•••+，+/?2+/?+1防少一1)卜士进一步化简得匕=b"（2+2+・・・+2）=2nbH・・・2an当b=l时，2afl=2=bn+}+.综上所述，an<+1."7J+1 解法二【数学归纳法之一】当h=时，2^=2=^,+1+1.欲证2an2nhn(h-l)bn--77,neN(*)(i)当归时，")=警>命1,不等式(*)显然成立.(ii)假设n=k时，猜想成立，即f閃〉k,则当〃二R+1时,(戻+2+1)(戻£一1)竺+1)(/—1)~2//启(方一1)2^0-1)-(沪;+3_戻+2+戻+1_])_(/产+2_戻+2+胪+1_方)2b*(b_l)严-严+b—l-2M+10-1)-(Z?2^2+!)(/?-!)2沪'(b_V)b2k+2+1~2b^>2bk+]_2hk+l~2b^=1.因此，f(k+1)-/(/：)>1,即/伙+1)>/(Q+1>E+1. 所以，当n=k^i时，不等式(*)也成立.综合(i)(ii),根据数学归纳法原理，不等式(*)得以证明.因此，对于一切正整数〃,2%切+1.解法三【数学归纳法之二】当b=l时，2an=2=bn+]+1.当几1吋，欲证2“笛告也<艸+1,只需证(严+1)附-1)~2bn(b-l)-(穴+1)(方"-1)~2b“(b—V)-下面用数学归纳法证明：f{ri)>rt,neN(*)(i)当心时，/(D=^>|=B不等式(*)显然成立。(ii)假设仔时,猜想成立，即f(k)>k.(严+1)(戻"—1)2bk+b-l)-(M+2+1)(^-1)+1)(//—1)2M+1(&-1)八丿2^0-1)h2k+2+12严2bk+l2bk+l2h^=k+.因此，f{k+)>k+.所以，当n=k+l时，不等式(*)也成立. 综合（i）（ii）,根据数学归纳法原理，不等式（*）得以证明.因此,对于一切正整数料,2色如+1.21.（本小题满分14分）在平面直角坐标系my中，直线l:x=-2交x轴与点设卩是/上一点，M是线段0P的垂直平分线上的一点，且满足ZMPO=ZAOP・（1）当点P在/上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知7（1-1）.设H是E上动点，求HO+HT的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（l,-1）且不平行于y轴的直线厶与轨迹E有且只有两个不同的点，求直线人的斜率R的取值范围.（本小题主要考查抛物线方程、直线方程与斜率、抛物线的定义等基础知识,考查推理论证和运算求解能力，以及数形结合、分类与整合、函数与方程的数学思想方法）解：（1）所求轨迹E=耳是抛物线，色是兀轴上的线段。先求巴的方程如图1•设MQ为线段0P的垂直平分线，交0P于0.・・・ZMPO=ZAOP,・・・MP丄I,且|MO|=|MP|.因此，J〒+y2=|兀+2|,即于二4(兀+1)(x>-l).① 再求e2的方程另一种情况，见图2（即点M和4位于直线0P的同侧）・•・•MQ为线段0P的垂直平分线，・・・ZMPQ=ZMOQ.又•・・ZMPQ=ZAOP:.ZMOQ=ZAOP.因此M在x轴上•此时，记M的坐标为（兀0）.为分析M（x,0）中x的变化范围，设P(-2,a)为/上任意点(awR)・由|MO|=|MP|(即|兀|=』(兀+2)2+/)得,X——1—Cl~5_1.4故M(x,0)的轨迹方程为y=0,x<-1②综合①和②得，点M的轨迹E的方程为丿4（兀+1）,兀1~I0,xv-1求Q的方法二:设M点坐标为（兀,刃，P是/上的一点，可设P（-2,f）,OP的斜率kop=--fX+1厂2^QM2op的中点坐标e（-i,-）, 又MPHAO,P点坐标(-2,t)=(-2,刃即y=f 从而=4兀+4求d的方法三.设M点坐标为(兀,y),P是/上的一点，可设P(-2,/),OP直线j=tt2OP垂直平分线M0过点0(-1,一)，直线MQ的方程：＞，-£=一(兀+1)22t乂MP//AO・・・P点的纵坐标为r二y于是/1/点坐标满足y-—=—(x+1)=—(x+1)即y2=4(x+l)2丿2y此为目的轨迹。求厶的方法四设P点坐标(一2,%),M坐标(x,y),ZMPO=ZAOP,MP//0AyQ=y,cosZMPO=cosZ.AOP或RtAMPQ赵p。心辟関只4+朮2即2=故兀+2@+y：i(4+/)=2(x+2),y=4(x+l)求厶的方法五(由抛物线定义)如图1,由图形知MO=MPfMP//AO,MP丄I即M到准线距离二M到焦点距离由抛物线定义可知耳是以0为焦点/为准线的抛物线。其中p=2,顶点(-1,0)其方程为/=2x2(x+l),即/=4(x+l) 求耳的另一种方法从下图可知抛物线上点M关于P0的对称点M',在线段P0垂直平分线上ZMPO=ZAOP=AMlOP,所以在x轴上,M沿着抛物线运动，对应的点就在耳上运动，从图可知M在x轴上运动，其范围是（-E2=（-oo,-l]（2）由（1）矢口，轨迹E的方程由下面Q和乙两部分组成（见图3）：耳：y2=4（X+1）（X>-1）；E2:y=0,x<-1.先考虑E、:当HeE,时，过T作垂直于/的直线，垂足为尸,交厶于D（-7-i）.4再过H作垂直于/的直线，交I与Hl因此，|HO|=|HH!|（抛物线的性质）.・・・|H0|+|HT|=|HH'|+|H八>H/T>TT,|=3（该等号仅当与尸重合（或刃与D重合）时取得））再考虑E2:当HeE2时，贝l\HO+HT>BO-^BT|>1+^5>3.此时H不能成为最小值点。综合可得，|H0|+|HT|的最小值为3,J1此时点H的坐标为（-—-1）.4考虑耳的另外一种解法：设HeE、,H点的坐标为（x,y）, _4)2+(4y)2+£J3—8尸+16(y+1)，以此求z的极小值，当y=-l时取得最小值.设HeE2,则W(x,0),x<-lo即：HO+HT|=Q+J(x-1)2+1>1+753所以H点坐标为(---1)时取得最小值，即(IHOI+1HT|)min=3(2)小题的解法一(1)由图的3知，直线厶斜率£不可能零.设厶：y+1=k(x-l)伙H0).立，1y2=4(x+l)i44x=—(y+1)+1,代入耳的方程得：y2—y—(—8)=0.kkk因判别式为A=-^-+4(-+8)=(-+2)2+28>0,krkk所以厶与E中的d有且仅有两个不同的交点.乂由&和人的方程可知，若人与&有交点，则此交点的坐标为(±乜,0),且k1.即当—-