第一类曲面积分的一类特殊解法

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1、第19卷第2期高等数学研究Vol．19，No．22016年3月STUDIESINCOLLEGEMATHEMATICSMar．，2016doi:10．3969/j．issn．1008-1399．2016．02．007第一类曲面积分的一类特殊解法12111刘植，江顺利，朱晓临，陈晓彦，时军(1．合肥工业大学数学学院，安徽合肥230009;2．合肥工业大学电子科学与应用物理学院，安徽合肥230009)摘要对一些特殊曲面(如柱面、旋转曲面)上的第一类曲面积分，转化为二重积分的基本方法可能非常复杂，用类似计算三重积分的平行截面法能更简洁地解决此类问题．关键词第一类曲面积分;平行截线法;定积分中

2、图分类号O172.2文献标识码A文章编号1008-1399(2016)02-0024-03ASpecialKindofCalculationofSurfaceIntegrals12111LIUZhi，JIANGShunli，ZHUXiaolin，CHENXiaoyan，SHIJun(1．SchoolofMathematics，HefeiUniversityofTechnology，Hefei230009，PＲC;2．SchoolofElectronicScience＆AppliedPhysics，HefeiUniversityofTechnology，Hefei230009，PＲC)

3、AbstractThemethodoftransformingthesurfaceintegralsonsomespecialsurfaces(suchascylindrical，rotatingsurface)intodoubleintegralmaybeverycomplex．Acalculationmethodsimilartotheparallelsectionmethodforevaluatingtripleintegralscanbemuchsimplerthanthetraditionalones．Keywordssurfaceintegral;parallelline

4、method;definiteintegral曲面积分是高等数学多元函数积分学的主要内曲线时，该方法的计算过程比较复杂．文献［1］介绍容之一，第一类曲面积分的计算则是学习中的重难了第一类曲面积分的八种解法，这些方法适用于具点．一般情况下，我们将积分曲面投影到坐标面上得有不同特征的积分曲面和被积函数．特别需要指出到曲面的投影区域，也就是曲面的定义域(含有内的是，当他们满足类似求解三重积分的“先二后一点的闭区域)，并给出相应的曲面函数，利用曲面的法”条件时，直接把第一类曲面积分转化为定积分面积元素把第一类曲面积分转化为二重积分来计则更加简洁方便．算．但是当积分曲面(如柱面)投影到坐标面是

5、一段当三重积分的被积函数是关于z的单变量函数，积分区域水平截面的面积容易计算且仅与z有收稿日期:2015-06-11基金项目:安徽省教学研究项目(2014jyxm021，2015jyxm035)，安徽关时，可以把三重积分转化为先算二重积分、后算定省质量工程“名师工作室”(2015msgzs126)，合肥工业大学研究生教研项目“以能力为导向一体化人才培养目标积分的形式，这种方法称之为“平行截面法”(也称下…的研究与实践”作者简介:刘植(1976－)，男，安徽金寨人，副教授，博士，从事计为“先二后一法”)［2］．三重积分的“平行截面法”由算数学研究，E－mail:liuzhi314@12

6、6．com江顺利(1996－)，男，安徽金寨人，2014级本科生，E－于计算量非常小备受大家青睐，对于第一类曲面积mail:2250802905@qq．com分而言，也存在类似的方法．第19卷第2期刘植，江顺利，朱晓临，陈晓彦，时军:第一类曲面积分的一类特殊解法25H平行截线法:当第一类曲面积分满足下列条件2H2πＲln(Ｒ+z)=2πＲln(1+2)．0Ｒ时，可以直接转化为定积分计算．1)被积函数是(或利用积分曲面的函数化为)2旋转曲面关于z(m＜z＜n)的单变量函数f(z);设旋转曲面∑是由xOz坐标面上的曲线C:x=2)积分曲面的面积元素可表示为:g(z)，m≤z≤n绕z轴旋转

7、一周而成，则水平截线dS=L(z)A(z)dz，(圆)的长度为L(z)=2π

8、g(z)

9、，弧长元素A(z)dz=其中L(z)为水平截线的长度，A(z)dz为竖直方向的2槡1+［g'(z)］dz，故弧长元素．“平行截线法”的计算公式即2dS=2π

10、g(z)

11、·槡1+［g'(z)］dz．nf(z)dS=∫f(z)L(z)A(z)dz．下面对于不同的旋转曲面分别举例说明．∑m(a)圆锥面下面针对积分曲面的各种类型分别介绍这种22圆锥面z=a槡x+y(a＞0)的