高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5 夹角的计算学案 北师大版选修2-1

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1、5夹角的计算学习目标　1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.知识点一　直线间的夹角思考1　设a，b分别是空间两条直线l1，l2的方向向量，则l1与l2的夹角大小一定为〈a，b〉吗？思考2　当两条直线平行时，它们的夹角是多少？梳理　(1)共面直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线交角中，范围在[0，]内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直时，夹角为__________.(2)异面直线的夹角当直线l1与l2是异面直线时，在

2、直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角，如图所示.　两条异面直线的夹角的范围为________，当夹角为时，称这两条直线异面______.综上，空间两条直线的夹角的范围是____________.(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作

3、的高度重视和支持。当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于____________；当＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于____________.知识点二　平面间的夹角思考　若平面π1与平面π2平行，则它们的夹角是多少？梳理　(1)平面间夹角的概念如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R.我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.由平面间夹角的概念可知，空间中两个平面的夹角的范围是______

4、______.当夹角等于0时，两个平面______；当夹角等于时，两个平面互相______.(2)两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.已知平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于__________________；当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于__________________.事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝

5、cos〈n1，n2〉

6、.知识点三　直线与平面的夹角思考　若直线l与平

7、面的夹角是0，则直线l与平面是否一定平行？梳理　(1)直线与平面夹角的概念平面外一条直线与它在该平面内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.非常感谢上级领导对我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。(2)直线与平面夹角的范围如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是____.如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是____________.由此可得，直线与平面夹角的范围是_

8、___________.(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法空间中，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定.设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α所成的角为θ.当0≤〈n，a〉≤时，θ＝__________________；当＜〈n，a〉≤π时，θ＝__________________.即sinθ＝

9、cos〈n，a〉

10、.类型一　直线间的夹角求解例1　已知直线l1的一个方向向量为s1＝(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2＝(－1,2，－2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值.反

11、思与感悟　利用直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是[0，π]，而两条直线的夹角的范围是[0，]，所以这两者不一定相等，还可能互补.由于任意两条直线的夹角θ∈[0，]，所以直线l1和直线l2夹角的余弦值等于

12、cos〈s1，s2〉

13、.跟踪训练1　如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1夹角的余弦值.非常感谢上级领导对

14、我的信任，这次安排我向股份公司述职，既是对我履行职责的监督，也是对我个人的关心和爱护，更是对**百联东方商厦有限公司工作的高度重视和支持。类型二　求平面间的夹角例2　如图，已知ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝.求平面SAB与平面SCD的夹角