4、厶与,2是异面直线，在直线厶上任収一点昇作AB//］2,则直线/］和直线SB的夹角叫作异面直线厶与Z的夹角.(2)计算：设直线人与/2的方向向量分别为S,S2.当OW〈s：,烧〉w*时，直线Z与厶的夹角等于〈s,6〉；当〈Si,S2〉Wn时，直线Z与厶的夹角等于兀一〈Si,52).3.平面间的夹角(1)定义：平面小与乃2相交于直线厶点斤为直线/上任意一点，过点亿在平面八上作直线厶丄厶在平面乃2上作直线＜2丄厶则直线厶和厶的夹角叫作平而心与⑦2的夹角.(2)计算：已知平面小和心的法向量分别为口和处，当OWS,n＞)W丁时，平面刀1和刀2的夹角等于S,z?2＞；J
5、I当迈YS,屁〉Wh时，平面巧和心的夹角等于n-5,4［归纳•升华•领悟］「1.求空间角时，要注意角的范围.(1)异面直线夹角范围是(0,y:■JIf(2)两平面夹角范圉是卜，y•2.求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系.［对应学生用书P35］［例1］如图所示，在四棱锥戶一力册中，底面/妙是一直角梯形，Z刃宀90°,AD//BQAB=BC=a,AD=2a,且刃丄底面ABCD,ZPZM=30°,AEIPD,F为垂足.(1)求证：BELPD；(2)求界面直线力F与仞夹角的余眩值.［思路点
6、拨］要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.［精解详析］以力为原点，AB,AD,肋所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则水0,0,0),如0,0),C(a,②0),〃(0,2马0).又・.・/吻=30°,:.AP=AD・tan30°AE=AD・sin30°=2臼・=&.a・・・处=刁过F作防丄/〃，垂足为尸，在Rt△加疋中，AE=a,Z胡尸=60°,(1)证明：
7、be
8、=(-日,*曰,而=（0,2日,_芈）/.
9、be
10、•pp=0+a2—a2=0.・・・
11、屁]丄同],:.BELPD.⑵區］=(o,扫陶，亘
12、=a,0）•则cos〈詞,司〉I[ae\]cd\~^■日4即处与仞的夹角的余弦值为芈.［一点通］1•求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a,b的夹角(a,方〉.但两异面直线的夹角范围是（o,y,所以当〈2A）e仔，JI时，两异面直线的夹角应为兀—〈日，〃〉.2.合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解.1.把正方形血匕9沿对角线应?折成直二面角，点龙尸分别是血?，臆的中点，。是正方形/1坎卩的屮心，则折起后，Z川炉的大小为（）A
13、.60°B.90°C.120°D.150°解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2..••國俘,半,0）園=（°,-平,割,•IcosZEOF=cos画國〉:.上EOF=20°.答案：C2.在棱长为白的正方体ABCD—AB.CA中，求异面直线丽】与应7的夹角.解：法一：以力点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设〃(1,0,0),则r(l,1,0),Ji(0,0,1),・••尿1=(1,1,0),两
14、=(-1,0,1),bh0•-1,0,11==~2-・・・jXc［
15、两*=120°.故M与酬的夹角为60°.法二・・・耳凰+画,霽壷+园・・.^X］
16、•尿=(丽+
17、^］)・(丽+扇)極•同
