资源描述：
《2017-2018版高中数学第二章空间向量与立体几何5夹角的计算学案北师大版选修2-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、5夹角的计算【学习目标】1.理解直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的概念.2.掌握直线间的夹角、平面间的夹角、直线与平面的夹角的求解.n问题导学知识点一直线间的夹角思考1设a,b分别是空间两条直线A,A的方向向量，则人与A的夹角大小一定为＜a,b}吗？思考2当两条直线平行吋，它们的夹角是多少?梳理(1)共面直线的夹角当两条直线厶与,2共面时，我们把两条直线交角屮，范围在［0,寺］内的角叫作两直线的夹角，如图所示，当两条直线垂直吋，夹角为・(2)异面直线的夹角当直线厶与Z是异面直线时，在直线厶上任取一点〃作AB//72,我们把直线Z和直线〃〃的夹角叫作异而直线厶与厶的夹角，如图所示.
2、两条异面直线的夹角的范围为,当夹角为专■时，称这两条直线异面.综上，空间两条直线的夹角的范围是.(3)直线的方向向量的夹角与两直线夹角的关系空间两条直线的夹角可由它们的方向向量的夹角来确定.已知直线厶与/2的方向向量分别为当OW〈s,S2〉w守时，直线人与/2的夹角等于；当守V〈s,S2〉W兀时，直线厶与厶的夹角等于知识点二平面间的夹角思考若平面小与平面乃2平行，则它们的夹角是多少？梳理（1）平血间夹角的概念如图，平面巧与刀2相交于直线/,点斤为直线/上任意一点,过点忆在平面小上作直线厶丄厶在平而"2上作直线厶丄厶则W=R.我们把直线Z和<2的夹角叫作平面无与乃2的夹角.由平面间夹角的概念可
3、知，空间中两个平面的夹角的范围是•当夹角等于0时，两个平面；当夹角等于于时，两个平面互相・（2）两个平面法向量的夹角与这两个平面的夹角的关系空间两个平面的夹角由它们的法向量的夹角确定.已知平面小与孔的法向量分别为勿与広.当OWS,忌〉W冷■吋，平面与刀2的夹角等于；当S，nW兀吋，平面小与兀的夹角等于.事实上，设平面与平面乃2的夹角为〃，则cos〃=
4、cos〈刀：，n>}
5、.知识点三直线与平而的夹角思考若直线/与平面的夹角是0,则直线/与平面是否一定平行？梳理（1）直线与平面夹角的概念平血外一条直线与它在该平血内的投影的夹角叫作该直线与此平面的夹角，如图所示.A(2)直线与平面夹角的范围如
6、果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线与平面的夹角是—如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线与平面的夹角是由此可得，直线与平面夹角的范围是•(3)利用向量计算直线与平面夹角的方法设平面a的法向量为刀,空间屮，直线与平面的夹角由直线的方向向量与平面的法向量的夹角确定.直线/的方向向量为日，直线/与平面。所成的角为0.当0W〈力，a)W守时，〃=_当专■<5,日〉W兀时，0=即sin0=
7、cos〈刀，a)・题型探究类型一直线间的夹角求解例1已知直线厶的一个方向向量为$=仃,0,1),直线的一个方向向量为s->=(—1,2,-2),求直线厶和直线厶夹角的余弦值.反思与感悟利用
8、直线的方向向量求两条直线的夹角时，要注意两条直线的方向向量的夹角与两条直线的夹角之间的关系.因为两条直线的方向向量的夹角的范围是［0,h］,而两条直线的夹角的范围是［0,守］,所以这两者不一定相等，还可能互补.由于任意两条直线的夹角〃丘［0,y］,所以直线厶和直线/2夹角的余弦值等于Icos〈s,Si).跟踪训练1如图所示，在三棱柱0AB—0ABZ，平而磁0丄平面OAB,,ZA0B=90°，且OB=0(X=2,0A=书,求异面直线〃〃与昇“夹角的余弦值.类型二求平面间的夹角例2如图，已知ABCD为直角梯形，ZDAB=ZABC=90°,场丄平面ABCD,SA=AB=BC=,AD=^.求平面
9、&方与平面SG?的夹角的余弦值.反思与感悟利用法向量求平面间夹角的大小的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)分別求出两平面的法向量；(3)求出两个法向量的夹角；(4)确定平面I'可夹角的大小.跟踪训练2如图，在四棱锥中，功丄底面ABCD,DC,ADIDC,AB=AD=,DC=SD=2,£为棱必上的一点，平面上况、丄平面弘C(1)证明：SE=2EB；(2)求平面/〃於与平面物夹角的大小.类型三直线与平面的夹角例3已知直线/的一个方向向量为s=(1,0,0),平面兀的一个法向量为n=(2,1,1),求直线与平面夹角的正弦值.反思与感悟注意公式sin^=
10、cos5,G丨屮，是线面夹角的
11、正弦值等于直线的方向向量与平血的法向量的夹角的余弦值的绝对值，不要记错.跟踪训练3如图所示，已知直角梯形川％",其中AB=BC=2AD,AS•丄平面初仞，AD〃BC,AB丄BC,HAS=AB.求直线SC与底面肋CO的夹角〃的余弦值.当堂训练1.在两个平面内，与两个面的交线都垂直的两个向量分别为(0,-1,3),(2,2,4),则这两个平面夹角的余弦值为()A並B-並63V15普或晋2.已知在正四棱柱ABCD-
