选修2-1空间向量夹角

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1、1．求线线夹角设，，为一面直线所成角，则：；；.AA'DBB'D'CC'yzxE'F'例：已知正方体，，则和所成角的余弦值是多少？解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，.∵，，∴，，，，A'AC'B'BzxyC∴和所成角的余弦值是.例：如图直三棱柱的底面和是全等等腰直角三角形，，侧棱垂直底面且，，，，求与所成角的余弦值.解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，.∵，，∴，，，，∴与所成角的余弦值是.例：正四面体边长均为，、分别为和中点，求异面直线和所成角.解：设，，，则，.，BCA

2、DFE，，，∴异面直线和所成角是.例：如图，是正三角形所在平面外一点，、分别是和的中点，，且.求异面直线与所成角.解：不妨设，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，，，.SABCMNzxy∵，，∴，，，，∴异面直线与所成角为.2．求线面夹角如图，已知为平面的一条斜线，为平面的一个法向量，过作平面的垂线，连结则为斜线和平面所成的角，记为易得nOPAαθ.例：正三棱柱的底面边长为，高为.求与侧面所成的角.解：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为B'A'C'ACBxyzD，，，.设平面法向量为，，，，令取平面的一个法

3、向量为.∵，，∴，，，设为与侧面所成的角则，，∴与侧面所成的角是.例：正四面体棱长为，为的中点.求与底面所成角.解：以点在上的射影为原点建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，，.设平面法向量为，，，BCADOzxEy，令取平面的一个法向量为.∵，，∴，，，设为与底面所成角则，，∴与底面所成角是.同样本题也可以选择基底来做.解法二：作底面于.设，，，与所成的角为，则与底面所成角为.∵，.∴，.（详见例16）∴，..∴与底面所成角是.3．求面面夹角设、分别是二面角两个半平面、的法向量，当法向量、同时指向二面角内或二面角外时，

4、二面角的大小为；当法向量、一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角的大小为.例：已知正方体的棱长为，是的中点.求二面角的大小.证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为AA'DBB'D'CC'yzxP，，，.设平面法向量为，，，，令取平面的一个法向量为.平面法向量为，，，，令取平面的一个法向量为.∵，，∴，，，，且二面角为锐角，∴二面角的大小为.例：过正方形的顶点引平面，并使平面、与平面成角.求二面角的大小.解：不妨设，，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，，设平面法向量为，，，CBDASyzx，令取平

5、面的一个法向量为.设平面法向量为，，，，令取平面的一个法向量为.∵，，∴，，，，∴，，.设平面法向量为，，，，令取平面的一个法向量为.∵，，∴，，，，∵二面角的为钝角，∴二面角的大小为.例：已知正方体，是中点.求平面和底面所成角的余弦值.AA'DBB'D'CC'yzxE解：不妨设正方体的边长为，建立空间直角坐标系，则相关各点坐标为，，，.设平面法向量为，，，，令取平面的一个法向量为.设平面法向量为，∵，且，∴底面，又，∴平面的一个法向量为.∵，，∴，，，，且平面和底面所成角为锐角，∴平面和底面所成角的余弦值为.