高中数学 第一章 导数及其应用 1_1 导数预习导航 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.1导数预习导航新人教B版选修2-2课程目标学习脉络1.理解函数平均变化率的概念，会求函数的平均变化率；2．理解瞬时变化率、导数的概念，会用导数的定义求函数的导数；3．理解导数的几何意义，并能应用导数的几何意义解决相关问题.1．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商＝称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．思考1在平均变化率中，Δx，Δy，是否可以等于0？当

2、平均变化率等于0时，是否说明函数在该区间上一定为常数？提示：Δx可以为正数，也可以为负数，但Δx不可以为0，Δy可以为0；可以为0.当平均变化率等于0时，并不说明函数在该区间上一定为常数．例如函数f(x)＝x2在区间[－2,2]上的平均变化率是0，但它不是常数函数．点拨函数平均变化率的几何意义：如图所示，函数f(x)在区间[x0，x1]上的平均变化率，就是直线AB的斜率，其中A(x0，f(x0))，B(x1，f(x1))．事实上，kAB＝＝.2．瞬时速度与导数(1)瞬时速度物体在运动过程中的某一时刻的速度称为瞬时速度．用数学语言描述为：物体运动的位移函数s＝f(t)，当Δt趋近于

3、0时，f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均速度趋近于常数，这个常数称为物体在t＝t0时刻的瞬时速度．(2)瞬时变化率设函数y＝f(x)在x0及其附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变量为Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．如果当Δx趋近于0时，平均变化率＝趋近于一个常数l，那么常数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．(3)导数“当Δx趋近于0时，趋近于常数l”可以用符号“→”记作“当Δx→0时，→l”，或记作“＝l”，符号“→”读作“趋近于”．函数y＝f(x)在点x0的瞬时变化率，通常称为f(x)在点x0处的导数，并记作f′(x0)．这时又称f(x)在

4、点x0处是可导的．对于上述变化过程，可以记作当Δx→0时，→f′(x0)或f′(x0)＝.(4)导函数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个确定的导数f′(x)．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数，记为f′(x)或y′(或y′x)．导函数通常简称为导数．思考2“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？提示：(1)函数f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)是一个数值，不是变量．(2)导函数也简称导数，

5、所以(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．点拨导数定义式的几种常见的变式：f′(x)＝；f′(x)＝；f′(x)＝；f′(x)＝；f′(x0)＝.3．导数的几何意义(1)切线设函数y＝f(x)的图象如图所示．AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线．由此割线的斜率是＝，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的最终位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点

6、A的切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率，即＝切线AD的斜率．(2)导数的几何意义由导数意义可知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线的斜率等于f′(x0)．思考3与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线吗？提示：不一定．如x轴或与x轴平行的直线与抛物线y2＝2px(p＞0)均只有一个公共点，但不能说这些直线是抛物线的切线．思考4曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？提示：不一定．例如直线y＝1是曲线y＝sinx的一条切线，但它们有无数个公共点．点拨正确区分曲线切线的两种不同描述方法：(1)曲线y＝f(x)在点P处的切线，是指点P恰好就是切

7、线与曲线的切点，这时切线唯一；(2)曲线y＝f(x)过点P的切线，是指点P可能是切线与曲线的切点，也可能不是切点．当点P不是切点时，切线与曲线相切于另外的点，但切线经过点P，这时切线是不唯一的．