高中数学 第一章 导数及其应用 1_4_1 曲边梯形面积与定积分预习导航 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.4.1曲边梯形面积与定积分预习导航新人教B版选修2-2课程目标学习脉络1.了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程；2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分；3．理解定积分的几何意义与性质.1．定积分的概念(1)定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和

2、式In＝(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做被积函数，a叫积分下限，b叫积分上限，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上可积．思考1(1)在定义中，对区间[a，b]的分法是否是任意的？ξi的取法是否是任意的？(2)在定义中，和式的极限是一个精确值还是近似值？定积分f(x)dx是一个常数还是一个函数？(3)在定积分f(x)dx中，定积分的值与积分变量有关吗？与积分区间有关吗？提示：(1)定积分定义中，对于区间[a，b]的分法是任

3、意的，不一定是等分，只要保证每一个小区间的长度都趋向于0就可以，采用等分的方式是为了便于作和．另外，关于ξi的取法也是任意的，实际用定积分定义计算定积分时为了方便，常把ξi都取为每个小区间的左(或右)端点．(2)和式的极限是一个精确值，定积分是一个常数．(3)定积分是一个数值(极限值)，它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dx＝f(u)du＝f(t)dt＝…(称为积分形式的不变性)，另外定积分f(x)dx与积分区间[a，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上限与下限不同，所得的值也就不同．点拨用定积分的定义求函数定积分的一般步骤：①分割

4、：n等分区间[a，b]；②近似代替：在每个小区间任取ξi；③求和：f(ξi)·；④取极限：f(x)dx＝f(ξi)·.(2)定积分的性质定积分有三条主要的性质：①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；②[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a＜c＜b)．点拨对定积分性质的理解要注意以下几点：(1)性质①②称为定积分的线性性质，性质③称为定积分对积分区间的可加性．(2)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立；性质③在把区间分成有限个(两个以上)区间时也成立；(3)在定积分的定义中，f(x)dx的下限小于上限，即a＜b.为了方

5、便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)dx＝－f(x)dx，f(x)dx＝0.2．定积分的几何意义(1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．(2)定积分的几何意义：曲边梯形的面积S等于其曲边所对应的函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分，即S＝f(x)dx.思考2能否认为曲边梯形的面积就是定积分的值，定积分的值就是曲边梯形的面积？提示：不能．曲边梯形的面积是正数，而定积分的值可正、可负、也可以为零，因此在利用定积分求曲边梯形面积时一定要注意定积分的取值．点拨用定积分表示曲边梯形面积的几种情形：(1)由三条直线x＝a，x＝b(

6、a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx(如图①)．(2)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积S＝＝－f(x)dx(如图②)．(3)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(如图③)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx－f(x)dx.(4)由两条直线x＝a，x＝b(a＜b)，两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]dx(如图④)．