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时间:2018-12-21
《高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分学业分层测评 新人教b版选修2-2》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.4.1曲边梯形面积与定积分(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.关于定积分m=dx,下列说法正确的是( )A.被积函数为y=-xB.被积函数为y=-C.被积函数为y=-x+CD.被积函数为y=-x3【解析】 被积函数为y=-.【答案】 B2.已知定积分f(x)dx=8,且f(x)为偶函数,则f(x)dx=( )A.0B.16C.12D.8【解析】 偶函数图象关于y轴对称,故f(x)dx=2f(x)dx=16,故选B.【答案】 B3.当n很大时,函数f(x)=x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替( )A.f B.fC.fD.f(0)【解析】 当n很大时
2、,f(x)=x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替,显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替.【答案】 C4.下列各阴影部分的面积S不可以用S=[f(x)-g(x)]dx求出的是( )【解析】 定积分S=[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方,对照各选项,知D中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方.【答案】 D5.定积分f(x)dx的大小( )A.与f(x)和积分区间[a,b]有关,与ξi的取法无关B.与f(x)有关,与区间[a,b]以及ξi的取法无关C.与f(x)以及ξi的取
3、法有关,与区间[a,b]无关D.与f(x),积分区间[a,b]和ξi的取法都有关【解析】 定积分的大小与被积函数以及区间有关,与ξi的取法无关.【答案】 A二、填空题6.定积分(-3)dx=__________.【解析】 由定积分的几何意义知,定积分(-3)dx表示由x=1,x=3与y=-3,y=0所围成图形面积的相反数.所以(-3)dx=-(2×3)=-6.【答案】 -67.定积分
4、x
5、dx=__________.【导学号:05410030】【解析】 如图,
6、x
7、dx=+2=.【答案】 8.曲线y=与直线y=x,x=2所围成的图形面积用定积分可表示为________.【解析】 如图所
8、示,阴影部分的面积可表示为xdx-dx=dx.【答案】 dx三、解答题9.已知x3dx=,x3dx=,x2dx=,x2dx=,求:(1)3x3dx;(2)6x2dx;(3)(3x2-2x3)dx.【解】 (1)3x3dx=3x3dx=3=3=12.(2)6x2dx=6x2dx=6=6=126.(3)(3x2-2x3)dx=3x2dx-2x3dx=3×-2×=-.10.利用定积分的几何意义,求dx的值.【解】 y=(-1≤x≤1)表示圆x2+y2=1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点).根据定积分的几何意义,知dx表示由曲线y=与直线x=-1,x=1,y=0所围成的平面图形的面积,所以d
9、x=S半圆=π.[能力提升]1.设曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭区域的面积为S,则下列等式成立的是( )A.S=(x2-x)dxB.S=(x-x2)dxC.S=(y2-y)dyD.S=(y-)dy【解析】 作出图形如图,由定积分的几何意义知,S=(x-x2)dx,选B.【答案】 B2.已知和式S=(p>0),当n趋向于∞时,S无限趋向于一个常数A,则A可用定积分表示为( )A.dxB.xpdxC.pdxD.pdx【解析】 S=+p+p+…+=p·,∴p·=xpdx.【答案】 B3.定积分2017dx=________________.【导学号:05410031】【解析】 由定
10、积分的几何意义知,定积分表示由直线x=2016,x=2017与y=2017,y=0所围成矩形的面积,所以2017dx=(2017-2016)×2017=2017.【答案】 20174.弹簧在拉伸的过程中,力与伸长量成正比,即力F(x)=kx(k为常数,x是伸长量),求将弹簧从平衡位置拉长b所做的功.【解】 将物体用常力F沿力的方向拖动距离x,则所做的功W=F·x.(1)分割在区间[0,b]上等间隔地插入n-1个点,将区间[0,b]等分成n个小区间:,,…,,记第i个区间为(i=1,2,…,n),其长度为Δx=-=.把在分段,,…,上所做的功分别记作:ΔW1,ΔW2,…,ΔWn.(2)近
11、似代替取各小区间的右端点函数值作为小矩形的高,由条件知:ΔWi≈F·Δx=k··(i=1,2,…,n).(3)求和Wn=Wi≈··=[0+1+2+…+(n-1)]=×=.从而得到W的近似值W≈Wn=.(4)取极限W=Wn=Wi==.所以将弹簧从平衡位置拉长b所做的功为.
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