2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分学案 新人教B版选修2-2

《2019高中数学 第1章 导数及其应用 1.4.1 曲边梯形面积与定积分学案 新人教B版选修2-2》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、1.4.1　曲边梯形面积与定积分1．了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想．2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质．1．一般函数定积分的定义设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝__________，i＝0,1,2，…，n－1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi，作和式In＝f(ξi)Δxi.当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把_

2、___________叫做________________的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dx＝f(ξi)Δxi.其中f(x)叫做________，a叫________，b叫________，f(x)dx叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a，b]上______．(1)定积分f(x)dx是一个常数．(2)用定义求定积分的一般步骤：①分割：n等分区间[a，b]；②近似代替：在每个小区间任取ξi.③求和：f(ξi)·；④取极限：f(x)dx＝f(ξi)·.【做一做1－1】“求和式极限”所得的面积(或路程)是________值(填“近似”或“精确”)；定积分f(x)

3、dx是________(填“函数”或“常数”)．【做一做1－2】利用定积分定义计算(1＋x)dx＝________.2．曲边梯形的面积根据定积分的定义，曲边梯形的面积S等于_______________________________________的定积分，即________________________________________．【做一做2－1】定积分cdx(c为常数)的几何意义是________________________．【做一做2－2】由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．1．定积分有哪些性质？剖

4、析：(1)定积分有三条主要的性质：①kf(x)dx＝kf(x)dx(k为常数)；②[f(x)±g(x)]dx＝f(x)dx±g(x)dx；③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(a＜c＜b)．(2)性质①②称为定积分的线性性质，性质③称为定积分对积分区间的可加性．(3)性质①的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积．(4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立．性质③对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也成立．(5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来，即S曲边梯形AMNB=S曲边梯形AMPC+S曲边梯形CPNB.(6)定义中区间的分

5、法和xi的取法都是任意的．(7)在定积分的定义中，f(x)dx限定下限小于上限，即a＜b.为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：f(x)dx＝－f(x)dx，f(x)dx＝0.2．怎样计算曲边梯形的面积？剖析：(1)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx(如图①)．(2)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围成的曲边梯形的面积＝－f(x)dx(如图②)．(3)由两条直线x＝a，x＝b(a＜b)，两条曲线y＝f(x)，y＝g

6、(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]dx(如图③)．(4)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(如图④)围成的曲边梯形的面积S＝f(x)dx－f(x)dx.题型一利用定义求定积分【例题1】已知一物体做自由落体运动，运动速度v＝gt，用定积分的定义求在时间区间[0，t]内，物体下落的距离s.分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可．反思：(1)根据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．(2)物体作变速直线运动所经过的路程s等于其速度函数v＝v(t)在

7、时间区间[0，t]上的定积分，即.题型二定积分的几何意义【例题2】用定积分的几何意义求dx(b＞a)的值．分析：明确定积分的几何意义——曲边梯形的面积，结合曲线特点求解．反思：f(x)dx(f(x)＞0)表示曲边梯形的面积，而半圆可看作是特殊的曲边梯形(有两边缩为点)，求出面积，从而得出定积分的值．题型三易错辨析易错点：用定积分表示曲边梯形的面积时，不注意曲边梯形的位置，从而导致错误，当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正值，且等于曲边梯形的面积，当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负值，且等于曲边梯形面积的相反数．【例题3】用定积分