2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分（二）

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1.4.1　曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点　1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．定积分的概念、几何意义及性质定积分概念定积分：设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上，用分点a＝x0

2、在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作ʃf(x)dx，即ʃf(x)dx＝(ξi)Δxi.这里a与b分别叫作积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．几何意义如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分ʃf(x)dx表示由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.基本性质ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx(k为常数)；ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；ʃf(x)dx＝ʃf(x

3、)dx＋ʃf(x)dx(其中a

4、)从a到b的定积分”．(3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1　利用定积分的定义，计算ʃx3dx的值．解　令f(x)＝x3.(1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，把区间[0,1]等分成n个小区间[，](i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝－＝.(2)近似代替、求和取ξi＝(i＝1,2，…，n)，则ʃx3dx≈Sn＝f()·Δx＝()3·＝i3＝·n2(n＋1)2＝(1＋)2.(3)取极限ʃx3dx＝Sn＝(1＋)2＝.反思与感悟　

5、(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f(x)≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积．跟踪训练1　用定义计算ʃ(1＋x)dx.解　(1)分割：将区间[1,2]等分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx＝.82017-2018学年人教B版高中数学学案(2)近似代替、求和：在上取点ξi＝1＋(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，从而得(ξi)Δx＝(2＋)·＝＝·n＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝

6、2＋·＝2＋.(3)取极限：S＝＝2＋＝.因此ʃ(1＋x)dx＝.探究点二　定积分的几何意义思考1　从几何上看，如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么ʃf(x)dx表示什么？答　当函数f(x)≥0时，定积分ʃf(x)dx在几何上表示由直线x＝a，x＝b(a0，f(ξi)≤0，故f(ξi)≤

7、0.从而定积分ʃf(x)dx≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃf(x)dx＝－S.当f(x)在区间[a，b]上有正有负时，定积分ʃf(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线x＝a，x＝b(a≠b)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)．(如图②)，即ʃf(x)dx＝－S1＋S2－S3.82017-2018学年人教B版高中数学学案例2　用定积分的几何意义求：(1)(3x＋2)dx；(2)(3)(

8、x＋1

9、＋

10、x－1

11、－4)dx；(4)dx(b>a)．解　(1)如图1阴影部分面积为＝