2018版高中数学人教b版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分（一）

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1、2017-2018学年人教B版高中数学学案1．4.1曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知重点1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示

2、)．(3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．2．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝lim错误!(xi)Δx，克服弹簧的拉力的变力所做的功：n→＋∞W＝lim错误!(xi)Δx.n→＋∞[情境导学]任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，12017-2018学年人教B版高中数学学案y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？探究点一求曲边梯形的

3、面积思考1如何计算下列两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．思考2如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．思考3能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以通过把区间[0,1]分成许多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”

4、，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行求和，就得到曲边梯形面积的近似值，随着拆分越来越细，近似程度会越来越好．22017-2018学年人教B版高中数学学案求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．i－1i思考4在“近似代替”中，如果认为函数f(x)＝x2在区间[，](i＝1,2，…，n)上的值近nnii1似地等于右端点处的函数值f()，用这种方法能求出S的值吗？若能求出，这个值也是吗？nn3i－1i取任意ξi∈[，]处的函数值f(ξi)作为近似值，情况

5、又怎样？其原理是什么？nn1答都能求出S＝.我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态3下，小曲边梯形可以看做小矩形．例1求由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的图形的面积．解(1)分割将区间[0,1]等分为n个小区间：11223i－1in－1[0，]，[，]，[，]，…，[，]，…，[，1]，nnnnnnnnii－11每个小区间的长度为Δx＝－＝.nnn过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.(2)近似代替i－1i－1ii－121在区间

6、[，](i＝1,2，…，n)上，以的函数值n作为高，小区间的长度Δx＝作nnnn为底边的小矩形的面积作为第i个小曲边梯形的面积，即i－11ΔS2i≈()·.nn(3)求和曲边梯形的面积近似值为i－11S＝错误!S2i≈错误!()·nn＝0·1＋(1)2·1＋(2)2·1＋…＋(n－1)2·1nnnnnnn＝1[12＋22＋…＋(n－1)2]n332017-2018学年人教B版高中数学学案111＝(1－)(1－)．3n2n(4)取极限曲边梯形的面积为1111S＝lim(1－)(1－)＝.n→∞3n2n3反思与感悟求曲边梯形的思想

7、及步骤：(1)思想：以直代曲、逼近；(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限；(3)关键：近似代替；(4)结果：分割越细，面积越精确．跟踪训练1求由抛物线y＝x2与直线y＝4所围成的曲边梯形的面积．解∵y＝x2为偶函数，图象关于y轴对称，∴所求曲边梯形的面积应为抛物线y＝x2(x≥0)与直线x＝0，y＝4所围图形面积S阴影的2倍，下面求S阴影．y＝x2x≥0由，y＝4得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x＝0，x＝2，y＝0和曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．(1)分割将区间[0,2]n等分，22i－1则Δx＝，取

8、ξi＝.nn(2)近似代替求和2i－12S2n＝错误!]·nn＝8[12＋22＋32＋…＋(n－1)2]n3811＝(1－)(1－)．3n2n(3)取极限8118S＝limSn＝lim(1－)(1－)＝.n→∞n→∞3n2n3816∴所求平面图形的面积为S阴影＝2×4－＝