预习导航1.4.1曲边梯形面积与定积分.docx

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1、预习导航程目学脉1.了解曲梯形及其面的含；了解求曲梯形面的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本程；2．掌握定分的概念，会用定求定分；3．理解定分的几何意与性.1．定分的概念(1)定分的定函数y＝f(x)定在区[a，b]上，用分点a＝x0＜x1＜x2＜⋯＜xn－1＜xn＝b把区[a，b]分n个小区，其度依次xi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，⋯，n－1.记λ些小区度的最大者，当λ近于0，所有的小区度都近于0.在每个小区内任取一点ξ，作和式I＝n－1f(ξi)xi.ini＝0当λ→0，如果和式的极限存在，我把和式In的极限叫做函数f(x)在区[a，b]上的定分，作∫baf(x)dx

2、，n－1即∫bf(x)dx＝lim∑f(ξ)x.aiiλ→0i＝0其中f(x)叫做被函数，a叫分下限，b叫分上限，f(x)dx叫做被式．此称函数f(x)在区[a，b]上可．思考1(1)在定中，区[a，b]的分法是否是任意的？ξi的取法是否是任意的？(2)在定中，和式的极限是一个精确是近似？定分∫baf(x)dx是一个常数是一个函数？(3)在定分∫baf(x)dx中，定分的与分量有关？与分区有关？提示：(1)定分定中，于区[a，b]的分法是任意的，不一定是等分，只要保每一个小区的度都向于0就可以，采用等分的方式是了便于作和．另外，关于ξi的取法也是任意的，用定分定算定分了方便，常把ξ

3、i都取每个小区的左(或右)端点．(2)和式的极限是一个精确，定分是一个常数．第1页(3)定分是一个数(极限)，它的取决于被函数与分的上、下限，而与分量用什么字母表示无关，即∫baf(x)dx＝∫baf(u)du＝∫baf(t)dt＝⋯(称分形式的不性)，另外定分∫baf(x)dx与分区[a，b]息息相关，不同的分区，定分的分上限与下限不同，所得的也就不同．点用定分的定求函数定分的一般步：①分割：n等分区[a，b]；②近似代替：在每个小区任取ξ；in－1b－a③求和：∑；f(ξi)·ni＝0④取极限：∫abf(x)dx＝limn－1b－a∑f(ξi)·n.n→＋∞i＝0(2)定分的性

4、定分有三条主要的性：①∫b∫baf(x)dx(k常数)；akf(x)dx＝k②∫b∫b∫ba[f(x)±g(x)]dx＝af(x)dx±ag(x)dx；③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx(a＜c＜b)．点定分性的理解要注意以下几点：(1)性①②称定分的性性，性③称定分分区的可加性．(2)性②于有限个函数(两个以上)也成立；性③在把区分成有限个(两个以上)区也成立；(3)在定分的定中，∫baf(x)dx的下限小于上限，即a＜b.了方便算，人把定∫aba分的概念大，使下限不一定小于上限，并定：bf(x)dx＝－∫af(x)dx，∫af(x)dx＝0.2．定分的

5、几何意(1)曲梯形：曲与平行于y的直和x所成的形，称曲梯形．(2)定分的几何意：曲梯形的面S等于其曲所的函数y＝f(x)在区[a，b]上的定分，即S＝∫baf(x)dx.思考2能否曲梯形的面就是定分的，定分的就是曲梯形的面？提示：不能．曲梯形的面是正数，而定分的可正、可、也可以零，因此在利用定分求曲梯形面一定要注意定分的取．点用定分表示曲梯形面的几种情形：第2页(1)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S＝∫baf(x)dx(如图①)．(2)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(f(x)≤0)围

6、成的曲边梯形的面积S＝

7、∫bafxdx

8、＝－∫baf(x)dx(如图②)．(3)由三条直线x＝a，x＝b(a＜b)，x轴，一条曲线y＝f(x)(如图③)围成的曲边梯形的面积S＝∫acf(x)dx－∫cbf(x)dx.(4)b由两∫条a直线x＝a，x＝b(a＜b)，两条曲线y＝f(x)，y＝g(x)(f(x)≥g(x))围成的平面图形的面积S＝[f(x)－g(x)]d(如图④)．第3页