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1、曲边梯形面积与定积分概念1.曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=b因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内以直代曲）．P放大再放大PPy=f(x)baxyOA1AA1.用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4
2、用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4y=f(x)baxyOAA1+A2++An将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为A1AiAn——以直代曲,无限逼近2．曲边梯形的面积求曲边梯形的面积即求下的面积——分成很窄的小曲边梯形，然后用矩形面积代后求和。若“梯形”很窄，可近似地用矩形面积代替在不很窄时怎么办？——以直代曲例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。解把底边[0,1]分
3、成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲
4、边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程
5、，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．——求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)以直代曲:任取xi[xi-1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为Dx的小矩形面积f(xi)Dx近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxixi(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区
6、间:每个小区间宽度⊿x如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.例2．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx（k是常数，x是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b所作的功。解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x,则所做的功W=Fx，本题F是克服弹簧拉力的变力，是移动距离x的函数，F(x)=kx，将[0，b]n等分，记△x=，分点依次为x0
7、=0，x1=，x2=,……，xn－1=，xn=b，当n很大时，在分段[xi，xi+1]所用的力约为kxi，所做的功△W≈kxi·△x=则从0到b所做的总功W近似地等于当n→+∞时，上式右端趋近于于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为Ovt12例3.汽车以速度v作匀速直线运动时，经过时间t所行使的路程S=vt.如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=-t2+2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S(单位：km)是多少？Ovt12上图中:所有小矩形的面积之和,其极限
8、就是由直线x=0,x=1和曲线v(t)=-t2+2所围成的曲边梯形的面积.一、定积分的定义如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———
