高中数学 第一章 导数及其应用 1_3_3 导数的实际应用自我小测 新人教b版选修2-21

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1、高中数学第一章导数及其应用1.3.3导数的实际应用自我小测新人教B版选修2-21．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)A．2和6B．4和4C．3和5D．以上都不正确2．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收益R(元)与年产量x(件)的关系是R＝则总利润P最大时，每年的产量是(　　)A．100件B．150件C．200件D．300件3．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x〔x∈(0,0.048)〕，则存

2、款利率为__________时，银行可获得最大收益．(　　)A．0.012B．0.024C．0.032D．0.0364．已知矩形的两相邻顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的部分，则此矩形面积的最大值是__________．5．已知某工厂生产x件产品的成本为C＝25000＋200x＋x2(元)，则当平均成本最低时，x＝________件．6．将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝，则S的最小值是________．7．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16

3、m，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)，求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．8．货车欲以xkm/h的速度行驶，去130km远的某地．按交通法规，限制x的允许范围是50≤x≤100.假设汽油的价格为2元/L，而汽车耗油的速率是L/h.司机的工资是14元/h，试问最经济的车速是多少？这次行车的总费用最低是多少？(结果保留整数)9．如图所示，扇形AOB中，半径OA＝1，∠AOB＝，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交

4、于点D，问当点C在什么位置时，直角梯形OCDB的面积最小．参考答案1．解析：设其中一个数为x，两数立方之和为y，则另一个数为8－x，y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，y′＝3x2－3(8－x)2，令y′＝0，即3x2－3(8－x)2＝0，得x＝4.当0≤x＜4时，y′＜0；当4＜x≤8时，y′＞0.所以当x＝4时，y最小．答案：B2．解析：由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润P＝R－C＝则P′＝令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300(件)时，总利润最大．答案：D3．解析：由题意，存款量g(x)＝kx(k＞0)，银行应支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(

5、0,0.048)．设银行可获得的收益为y，则y＝0.048kx－kx2.于是y′＝0.048k－2kx，令y′＝0，解得x＝0.024，依题意知y在x＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．答案：B4．解析：由题意可设点A(x，y)，则点B(－x，y)，C(－x,0)，D(x,0)，其中0＜x＜2,0＜y＜4，设矩形的面积为S，则S＝2xy＝2x(4－x2)＝8x－2x3，令S′＝8－6x2＝0，得x＝.又当x∈时，S′＞0；当x∈时，S′＜0，故当x＝时，面积取得最大值，此时S＝.答案：5．解析：设平均成本为y元，则y＝＝＋200＋(x≥0)，y′

6、＝＋，令y′＝0，得x＝1000或x＝－1000(舍去)．当0≤x＜1000时，y′＜0，当x＞1000时，y′＞0，故当x＝1000时，y取最小值．答案：10006．解析：如图所示，设剪成的两块中是正三角形的那一块边长为xm，则梯形的周长为x＋(1－x)＋(1－x)＋1＝3－x，梯形的面积为－x2，∴S＝＝·(0＜x＜1)，对S求导得S′＝·.令S′＝0，得x＝或x＝3(舍去)，∴Smin＝S＝.答案：7．解：设矩形污水处理池的长为xm，宽为m，据题意解得10≤x≤16，总造价f(x)＝×400＋×248＋200×80＝800x＋＋16000(10≤x≤16)，令f′(x)＝800

7、－＝0，得x＝18，当x∈(0,18)时，函数f(x)为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数f(x)为增函数．因此在定义域内函数f(x)为减函数，当且仅当长为16m，宽为12.5m时，总造价最低，为45000元．8．解：由已知可得汽车的运行时间为h，耗油量为·L，耗油费用为2··元，司机的工资为14·元，故这次行驶的总费用为y＝2··＋14·＝130，∴y′＝130.令y′＝0，即130＝0，解得x＝18(x＝－18舍去)．∵50≤x≤100，∴x＝18≈